Question

某汽車制造公司計(jì)劃生產(chǎn)A、B、C三種型號(hào)的汽車共80輛．并且公司在設(shè)計(jì)上要求，A、C兩種型號(hào)之間按如圖所示的函數(shù)關(guān)系生產(chǎn)．該公司投入資金不少于1212萬(wàn)元，但不超過(guò)1224萬(wàn)元，且所有資金全部用于生產(chǎn)這三種型號(hào)的汽車，三種型號(hào)的汽車生產(chǎn)成本和售價(jià)如下表：

	A	B	C
成本（萬(wàn)元/輛）	12	15	18
售價(jià)（萬(wàn)元/輛）	14	18	22

設(shè)A種型號(hào)的汽車生產(chǎn)x輛；
（1）設(shè)C種型號(hào)的汽車生產(chǎn)y輛，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該公司對(duì)這三種型號(hào)汽車有哪幾種生產(chǎn)方案？
（3）設(shè)該公司賣車獲得的利潤(rùn)W萬(wàn)元，求公司如何生產(chǎn)獲得利潤(rùn)最大？
（4）根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每輛A、B型號(hào)汽車的售價(jià)不會(huì)改變，每輛C型號(hào)汽車在不虧本的情況下售價(jià)將會(huì)降價(jià)a萬(wàn)元（a＞0），且所生產(chǎn)的三種型號(hào)汽車可全部售出，該公司又將如何生產(chǎn)獲得利潤(rùn)最大？（注：利潤(rùn)=售價(jià)-成本）

Answer 1

分析：（1）由y與x的函數(shù)圖象可知，y是x的一次函數(shù)，所以設(shè)y=kx+b，將（25，39），（30，34）代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)A種型號(hào)的汽車生產(chǎn)x輛，C種型號(hào)的汽車生產(chǎn)y輛，則B種型號(hào)的汽車生產(chǎn)（80-x-y）輛，根據(jù)該公司投入資金不少于1212萬(wàn)元，但不超過(guò)1224萬(wàn)元，可建立不等式組，解此不等式組，求出符合題意的x的值，進(jìn)而得出與之對(duì)應(yīng)的方案數(shù)；
（3）首先根據(jù)公司賣車獲得的利潤(rùn)=公司賣A、B、C三種型號(hào)的汽車獲得的利潤(rùn)之和得出W與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍，即可求出函數(shù)的最大值；
（4）首先根據(jù)公司賣車獲得的利潤(rùn)=公司賣A、B、C三種型號(hào)的汽車獲得的利潤(rùn)之和得出W與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)a的取值，分類討論解答．

解答：解：（1）設(shè)y=kx+b，將（25，39），（30，34）代入，
得

25k+b=39 30k+b=34

，解得

k=-1 b=64

．
故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+64；

（2）由題意知，B種型號(hào)的汽車生產(chǎn)（80-x-y）輛，由題意，有
1212≤12x+15（80-x-y）+18y≤1224，
∵y=-x+64，
∴1212≤12x+15（80-64）+18（-x+64）≤1224，
∴1212≤-6x+1392≤1224，
解得28≤x≤30，
∵x為整數(shù)，
∴x可取28或29或30，
∴有三種生產(chǎn)方案：
方案一：A種型號(hào)的汽車生產(chǎn)28輛，B種型號(hào)的汽車生產(chǎn)16輛，C種型號(hào)的汽車生產(chǎn)36輛；
方案二：A種型號(hào)的汽車生產(chǎn)29輛，B種型號(hào)的汽車生產(chǎn)16輛，C種型號(hào)的汽車生產(chǎn)35輛；
方案三：A種型號(hào)的汽車生產(chǎn)30輛，B種型號(hào)的汽車生產(chǎn)16輛，C種型號(hào)的汽車生產(chǎn)34輛．

（3）設(shè)利潤(rùn)為w元，則
W=2x+3（80-x-y）+4y=2x+3（80-64）+4（-x+64）=-2x+304，
∵-2＜0，
∴w隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=28時(shí)，W最大，此時(shí)W=-2×28+304=248．
故按（2）中方案一進(jìn)貨利潤(rùn)最大；

（4）由題意知W=2x+3（80-x-y）+（4-a）y=2x+3（80-64）+（4-a）（-x+64）=（a-2）x+（304-64a），
∴當(dāng)0＜a＜2時(shí)，x=28，W最大，即A種型號(hào)的汽車生產(chǎn)28輛，B種型號(hào)的汽車生產(chǎn)16輛，C種型號(hào)的汽車生產(chǎn)36輛；
當(dāng)a=2時(shí)，a-2=0，三種生產(chǎn)方案獲得的利潤(rùn)相等．
當(dāng)2＜a≤4時(shí)，x=30，W最大，即A種型號(hào)的汽車生產(chǎn)30輛，B種型號(hào)的汽車生產(chǎn)16輛，C種型號(hào)的汽車生產(chǎn)34輛．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)與不等式組的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題．難度較大，解題的關(guān)鍵是理解題意，能根據(jù)題意求得不等式組與函數(shù)解析式，然后根據(jù)其性質(zhì)解題．