Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象G和x軸有且只有一個交點A，與y軸的交點為B（0，4），且ac=b．
（1）求該二次函數(shù)的解析表達式；
（2）將一次函數(shù)y=-3x的圖象作適當平移，使它經(jīng)過點A，記所得的圖象為L，圖象L與G的另一個交點為C，求△ABC的面積．

Answer 1

解：（1）由B（0，4）得，c=4．
G與x軸的交點A（，0），
由條件ac=b，得=，
即A（-2，0）．
所以．
解得．
所求二次函數(shù)的解析式為y=x²+4x+4．

（2）設圖象L的函數(shù)解析式為y=-3x+b，
因圖象L過點A（-2，0），
所以b=-6，
即平移后所得一次函數(shù)的解析式為
y=-3x-6．
令-3x-6=x²+4x+4，
解得x₁=-2，x₂=-5．
將它們分別代入y=-3x-6，
得y₁=0，y₂=9．
所以圖象L與G的另一個交點為C（-5，9）．
如圖，過C作CD⊥x軸于D，
則S_△ABC=S_梯形BCDO-S_△ACD-S_△ABO
=（4+9）×5-×3×9-×2×4=15．
分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)與x軸只有一個交點，可得出△=0，然后將B點坐標代入拋物線，聯(lián)立△=0和ac=b即可求出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)拋物線的解析式可求出A點的坐標，設出平移后的直線的解析式，然后將A點坐標代入即可求出平移后圖象L的解析式，然后聯(lián)立直線L和拋物線G即可求出C點的坐標．由于△ABC的面積無法直接求出，可轉(zhuǎn)換成其他規(guī)則圖形面積的和差來求解．
過C作x軸的垂線，可通過S_△ABC=S_梯形OBCD-S_△CAD-S_△OBA來求出△ABC的面積．
點評：命題立意：考查二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．
點評：（1）函數(shù)圖象交點坐標為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解．
（2）不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差．