Question

如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4，將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合，折痕FG分別與AB、CD交于點G、F，AE與FG交于點O．
（1）如圖1，求證：A、G、E、F四點圍成的四邊形是菱形；
（2）如圖2，點N是線段BC的中點，且ON=OD，求折痕FG的長．

Answer 1

（1）證明：由折疊的性質(zhì)可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，
∵DC∥AB，
∴∠EFG=∠AGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG=AG，
∴四邊形AGEF是平行四邊形（EF∥AG，EF=AG），
又∵AG=GE，
∴四邊形AGEF是菱形．

（2）解：連接ON，
∵O，N分別是AE，CB的中點，
故ON是梯形ABCE的中位線，
設CE=x，則ED=4-x，2ON=CE+AB=x+4，
在Rt△AED中，AE=2OE=2ON=x+4，
AD²+DE²=AE²，
∴2²+（4-x）²=（4+x）²，
得x=，
OE==，
∵△FEO∽△AED，
∴=，
解得：FO=，
∴FG=2FO=．
故折痕FG的長是．
分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)判斷出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，從而判斷出EF=AG，得出四邊形AGEF是平行四邊形，繼而結(jié)合AG=GE，可得出結(jié)論．
（2）連接ON，得出ON是梯形ABCE的中位線，在RT△ADE中，利用勾股定理可解出x，繼而可得出折痕FG的長度．
點評：此題考查了翻折變換的知識，涉及了菱形的判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，關鍵在于得出△FEO∽△AED，求出=．