Question

通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的。下面是一個案例，請補充完整。

原題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由。

（1）思路梳理

∵AB=CD，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合。

∵∠ADC=∠B=90°，

∴∠FDG=180°，點F、D、G共線。

根據(jù)　　　　，易證△AFG≌　　　　，得EF=BE+DF。

（2）類比引申

如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系　　　　時，仍有EF=BE+DF。

（3）聯(lián)想拓展

如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）SAS；△AFE。

（2）∠B+∠D=180°。

（3）BD²+EC²=DE²。理由見解析

【解析】

試題分析：（1）在△AFG和△AEF中，，∴△AFG≌△AEF（SAS）。

（2）如圖，把△ABE繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，連接FG，

同（1）△AEF≌△AGF（SAS）得EF=GF；

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得BE=DG，∠B=∠ADG，

若EF=BE+DF，則GF=DG+DF。

∴點F、D、G共線�！唷螦DF＋∠ADG180°，即∠B+∠D=180°。

（3）根把△ABD繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，可使AB與AC重合，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和勾股定理，可得到BD²+EC²=DE²。

BD²+EC²=DE²。推理過程如下：

∵AB=AC，

∴把△ABD繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，可使AB與AC重合（如圖）。

∵△ABC中，∠BAC=90°，

∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，即∠ECG=90°。

∴EC²+CG²=EG²。

在△AEG與△AED中，

∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，∠CAG=∠BAD。

∴∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°－∠EAD=45°=∠EAD。

又∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，AD=AG，AE=AE，

∴△AEG≌△AED（SAS）�！郉E=EG。

又∵CG=BD，∴BD²+EC²=DE²。