Question

（2007•西城區(qū)二模）已知，?ABCD的周長為52，自頂點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別是E、F．若DE=5，DF=8，求?ABCD的兩邊AB、BC長和BE+BF的長．

Answer 1

分析：根據(jù)∠A為銳角或∠D為銳角分情況進(jìn)行討論，（1）當(dāng)∠A為銳角時(shí)，根據(jù)題意畫出圖形，做出輔助線，設(shè)AB=a，BC=b，根據(jù)平行四邊形的面積公式推出AB×DE=BC×DF，即5a=8b，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出AB=CD，BC=DA后，由周長公式即可推出2（a+b）=52，通過解方程組

5a=8b      ① a+b=26    ②

，推出

AB=16 BC=10

，即可求出AB=CD=16，AD=BC=10，然后根據(jù)勾股定理即可推出AE和CF的長度，根據(jù)圖形即可求出BE=AB-AE=16-5

3

，BF=CF-BC=8

3

-10，通過計(jì)算即可求出BE+BF的長度，（2）當(dāng)∠D為銳角時(shí)，根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)（1）中所求出的AE=5

3

，CF=8

3

，根據(jù)圖形即可推出BE=BA+AE=16+5

3

，BF=BC+CF=10+8

3

，即可求出BE+BF=（16+5

3

）+（10+8

3

）=26+13

3

．

解答：解：對(duì)于平行四邊形ABCD有兩種情況：
（1）當(dāng)∠A為銳角時(shí)，如圖1，
設(shè)AB=a，BC=b，
∵平行四邊形ABCD，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴AB×DE=BC×DF，AB=CD，BC=DA，
又∵DE=5，DF=8，
∴5a=8b，
∵平行四邊形ABCD的周長為52，
∴2（a+b）=52，
∴a+b=26，
解方程組

5a=8b      ① a+b=26    ②

，
∴由②得：a=26-b  ③，
∴把③代入①得：b=10，
∴a=16，
∵

a=16 b=10

，
∴

AB=16 BC=10

，
∴AB=CD=16，AD=BC=10，
∵DE=5，DF=8，
∴在Rt△ADE中，AE=5

3

，
∴BE=AB-AE=16-5

3

，
∴在Rt△DFC中，CF=8

3

，
∵F點(diǎn)在CB的延長線上，
∴BF=CF-BC=8

3

-10，
∴BE+BF=（16-5

3

）+（8

3

-10）=6+3

3

，

（2）當(dāng)∠D為銳角時(shí)，如圖2，
設(shè)AB=a，BC=b，
∵平行四邊形ABCD，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴AB×DE=BC×DF，AB=CD，BC=DA，
又∵DE=5，DF=8，
∴5a=8b，
∵平行四邊形ABCD的周長為52，
∴2（a+b）=52，
∴a+b=26，
解方程組

5a=8b      ① a+b=26    ②

，
∴由②得：a=26-b  ③，
∴把③代入①得：b=10，
∴a=16，
∵

a=16 b=10

，
∴

AB=16 BC=10

，
∴AB=CD=16，AD=BC=10，
∵DE=5，DF=8，
∴在Rt△ADE中，AE=5

3

，
∴在Rt△DFC中，CF=8

3

，
∴BE=BA+AE=16+5

3

，BF=BC+CF=10+8

3

，
∴BE+BF=（16+5

3

）+（10+8

3

）=26+13

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，合并同類二次根式等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于根據(jù)∠A為銳角或∠D為銳角分情況進(jìn)行討論，根據(jù)平行四邊形的面積公式和周長定理正確的列出方程組，并認(rèn)真的求解，推出AB和BC的長度，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解．