Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30º．點(diǎn)M、N同時(shí)以相同速度分別從點(diǎn)A、點(diǎn)D開(kāi)始在AB、AD（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)．

   （1）設(shè)ND的長(zhǎng)為x，用x表示出點(diǎn)N到AB的距離，并寫(xiě)出x的取值范圍．

   （2）當(dāng)五邊形BCDNM面積最小時(shí)，請(qǐng)判斷△AMN的形狀．

               

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)N作BA的垂線NP，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．           

由已知，AM＝x，AN＝20－x．

        ∵　四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D＝∠C＝30º，

        ∴　∠PAN＝∠D＝30º．

        在Rt△APN中，PN＝ANsin∠PAN＝（20－x），

        即點(diǎn)N到AB的距離為（20－x）．                    

        ∵ 點(diǎn)N在AD上，0≤x≤20，點(diǎn)M在AB上，0≤x≤15，

        ∴ x的取值范圍是　0≤x≤15．                

        （2）根據(jù)（1），S_△AMN＝AM•NP＝x（20－x）＝．           

        ∵　＜0，∴　當(dāng)x＝10時(shí)，S_△AMN有最大值．               

又∵　S_{五邊形BCDNM}＝S_梯形－S_△AMN，且S_梯形為定值，
∴　當(dāng)x＝10時(shí)，S_{五邊形BCDNM}有最小值．                        

        當(dāng)x＝10時(shí)，即ND＝AM＝10，AN＝AD－ND＝10，即AM＝AN．

        則當(dāng)五邊形BCDNM面積最小時(shí)，△AMN為等腰三角形．