Question

如圖，等腰直角△ABC中，CA=CB，點E為△ABC外一點，CE=CA，且CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°．
（1）求證：△CBE為等邊三角形；
（2）若AD=5，DE=7，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）首先利用等腰三角形的性質(zhì)得出，∠CAE=∠CEA，再利用外角的性質(zhì)得出∠BCE的度數(shù)，進而利用等邊三角形的判定得出答案；
（2）首先在AE上截取EM=AD，進而得出△ACD≌△ECM，進而得出△MCD為等邊三角形，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵CA=CB，CE=CA，
∴BC=CE，∠CAE=∠CEA，
∵CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°，
∴∠ACD=∠DCB=45°，∠DAC+∠ACD=∠EDC=60°，
∴∠DAC=∠CEA=15°，
∴∠ACE=150°，
∴∠BCE=60°，
∴△CBE為等邊三角形；

（2）解：在AE上截取EM=AD，連接CM．
在△ACD和△ECM中，

AD=EM ∠DAC=∠MEC AC=EC

，
∴△ACD≌△ECM（SAS），
∴CD=CM，
∵∠CDE=60°，
∴△MCD為等邊三角形，
∴CD=DM=7-5=2．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)與判定和三角形外角的性質(zhì)等知識，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．