如圖,已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E,頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4);矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合,AD、AB分別在x軸、y軸上,且AD=2,AB=3.
(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從如圖所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動,同時一動點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動,設(shè)它們運(yùn)動的時間為t秒(0≤t≤3),直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N(如圖2所示).
①當(dāng)t=時,判斷點(diǎn)P是否在直線ME上,并說明理由;
②設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S,試問S是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)已知頂點(diǎn)坐標(biāo),又拋物線經(jīng)過原點(diǎn),用待定系數(shù)可求出拋物線解析式;
(2)①根據(jù)拋物線的對稱性求出E點(diǎn)坐標(biāo),再求出直線ME的解析式,把t知代入驗證點(diǎn)P是否在直線ME上;
②最后一問設(shè)出P,N坐標(biāo),根據(jù)幾何關(guān)系求出PN,然后分兩種情況討論:(1)PN=0;(2)PN≠0;把求多邊形面積S轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題.
解答:解:(1)因所求拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4),
故可設(shè)其關(guān)系式為y=a(x-2)2+4(1分)
又∵拋物線經(jīng)過O(0,0),
∴得a(0-2)2+4=0,(2分)
解得a=-1(3分)
∴所求函數(shù)關(guān)系式為y=-(x-2)2+4,
即y=-x2+4x.(4分)

(2)①點(diǎn)P不在直線ME上.(5分)
根據(jù)拋物線的對稱性可知E點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0),
又M的坐標(biāo)為(2,4),
設(shè)直線ME的關(guān)系式為y=kx+b.
于是得,
解得
所以直線ME的關(guān)系式為y=-2x+8.(6分)
由已知條件易得,當(dāng)t=時,OA=AP=,
∴P(,)(7分)
∵P點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足直線ME的關(guān)系式y(tǒng)=-2x+8.
∴當(dāng)t=時,點(diǎn)P不在直線ME上.(8分)
②S存在最大值.理由如下:(9分)
∵點(diǎn)A在x軸的非負(fù)半軸上,且N在拋物線上,
∴OA=AP=t.
∴點(diǎn)P,N的坐標(biāo)分別為(t,t)、(t,-t2+4t)
∴AN=-t2+4t(0≤t≤3),
∴AN-AP=(-t2+4t)-t=-t2+3t=t(3-t)≥0,
∴PN=-t2+3t(10分)
(。┊(dāng)PN=0,即t=0或t=3時,以點(diǎn)P,N,C,D為頂點(diǎn)的多邊形是三角形,此三角形的高為AD,
∴S=DC•AD=×3×2=3.(11分)
(ⅱ)當(dāng)PN≠0時,以點(diǎn)P,N,C,D為頂點(diǎn)的多邊形是四邊形
∵PN∥CD,AD⊥CD,
∴S=(CD+PN)•AD=[3+(-t2+3t)]×2=-t2+3t+3=-(t-2+
其中(0<t<3),由a=-1,0<<3,此時S最大=.(12分)
綜上所述,當(dāng)t=時,以點(diǎn)P,N,C,D為頂點(diǎn)的多邊形面積有最大值,這個最大值為.(13分)
說明:(ⅱ)中的關(guān)系式,當(dāng)t=0和t=3時也適合.
點(diǎn)評:此題考查用待定系數(shù)求函數(shù)解析式,用到頂點(diǎn)坐標(biāo),第二問是研究動點(diǎn)問題,點(diǎn)動圖也動,根據(jù)幾何關(guān)系巧妙設(shè)點(diǎn),把面積用t表示出來,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A,它的對稱軸x=-2與x軸交于點(diǎn)C,直線y=-精英家教網(wǎng)2x+1經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)B(2,m),且與y軸.直線x=-2分別交于點(diǎn)D、E.
(1)求m的值及該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)①判斷△CBE的形狀,并說明理由;②判斷CD與BE的位置關(guān)系;
(3)若P(x,y)是該拋物線上的一個動點(diǎn),是否存在這樣的點(diǎn)P,使得PB=PE?若存在,試求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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(2013•衡陽)如圖,已知拋物線經(jīng)過A(1,0),B(0,3)兩點(diǎn),對稱軸是x=-1.
(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運(yùn)動,同時動點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運(yùn)動,過點(diǎn)Q作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)運(yùn)動的時間為t秒.
①當(dāng)t為何值時,四邊形OMPQ為矩形;
②△AON能否為等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A,它的對稱軸x=2與x軸交于點(diǎn)C,直線y=-2x-1經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)B(-2,m),且與y軸、直線x=2分別交于點(diǎn)D、E,
(1)求m的值及該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求證:①CB=CE;②D是BE的中點(diǎn).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),與x軸的另一個交點(diǎn)為A,且頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,2),
(1)求該拋物線的解析式;
(2)現(xiàn)將它向右平移m(m>0)個單位,所得拋物線與x軸交于C、D兩點(diǎn),與原拋物線交于點(diǎn)P,△CDP的面積為S,求S關(guān)于m的關(guān)系式;
(3)當(dāng)m=2時,點(diǎn)Q為平移后的拋物線的一動點(diǎn),是否存在這樣的⊙Q,使得⊙Q與兩坐標(biāo)軸都相切?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和x軸上的另一點(diǎn)E,頂點(diǎn)為M(2,4),矩形ABCD的頂點(diǎn)A與O重合,AD,AB分別在x,y軸上,且AD=2,AB=3.
(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)現(xiàn)將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從左圖所示位置沿x軸的正方向勻速平行移動;同時AB上一動點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速運(yùn)動,設(shè)它們的運(yùn)動時間為t秒(0≤t≤3),直線AB與拋物線的交點(diǎn)為N,設(shè)多邊形PNCD的面積為S,試探究S是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,說明理由.
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