Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)的圖象與x軸、y軸的公共點分別為A（5、0）、B，點C在這個二次函數(shù)的圖象上，且橫坐標(biāo)為3．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）求∠BAC的正切值；
（3）如果點D在這個二次函數(shù)的圖象上，且∠DAC=45°，求點D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點A的坐標(biāo)代入可得出b的值，繼而得出二次函數(shù)解析式；
（2）連接BC，利用勾股定理逆定理可得出△ABC是直角三角形，在Rt△ABC中可求出tan∠BAC的值．
（3）根據(jù)OA=OB，可得∠BAO=45°，結(jié)合∠DAC=45°，可得∠DAO=∠BAC，設(shè)出點D的坐標(biāo)，根據(jù)tan∠DAO的值可得出答案．
解答：解：（1）將點A（5，0）代入，可得：0=-×5²+5b+5，
解得：b=，
故二次函數(shù)解析式為y=-x²+x+5．

（2）連接BC，
，
∵拋物線的解析式為y=-x²+x+5，
∴點B的坐標(biāo)為（0，5），
∵點C的橫坐標(biāo)為3，
∴點C的縱坐標(biāo)為6，即可得點C的坐標(biāo)為（3，6），
則BC==，AB=5，AC==，
∵AB²=BC²+AC²，
∴△ABC是直角三角形，
∴tan∠BAC===；

（3）∵OA=OB=5，∠BOA=90°，
∴∠BAO=45°，
又∵∠DAC=45°，
∴∠DAO=∠BAC，

設(shè)點D的坐標(biāo)為（x，-x²+x+5），
則tan∠DAO=tan∠BAC==，
解得：x₁=-，x₂=5（舍去），
故點D的坐標(biāo)為（-，）．
點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理的逆定理及三角函數(shù)的知識，解答本題的關(guān)鍵之處在于判斷才△ABC是直角三角形，對于此類綜合型題目，不要慌，一問一問的思考，將所學(xué)知識綜合起來．