Question

已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，點M是BE的中點，連接CM．當點D在AB上，點E在AC上時（如圖一），連接DM，可得結論：DC=

2

CM．將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當點D在AC上（如圖二）或當點E在BA的延長線上（如圖三）時，請你猜想DC與CM有怎樣的數(shù)量關系，并選擇一種情況加以證明．

Answer 1

分析：（1）延長DM交BC于N，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定推出∠DEM=∠MBC，根據(jù)ASA推出△EMD≌△BMN，證出BN=AD即可；
（2）作CN∥DE交DM的延長線于N，連接CN，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠E=∠NBM，根據(jù)ASA證△DCA≌△NCB，推出△DCN是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可推出△CMD為等腰直角三角形．

解答：解：（1）DC=

2

CM
如圖二，連接DM并延長DM交BC于N，
∵∠EDA=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠MBC，
∵在△EMD和△BMN中，

∠DEM=∠NBM EM=BM ∠EMD=∠NMB

，
∴△EMD≌△BMN（ASA），
∴BN=DE=DA，MN=MD
∵BA=BC，
∴CD=CN，
∴△DCN是等腰直角三角形，且BM是底邊的中線，
∴BM⊥DM，∠DBM=

1

2

∠DBN=45°=∠BDM，
∴△CMD為等腰直角三角形．
∴DC=

2

CM；
（2）DC=

2

CM，
理由：如圖三，連接DM，作CN∥DE交DM的延長線于N，連接CN，
∴∠E=∠MBN=45°．
∵點M是BE的中點，
∴EM=BM．
∵在△EMD和△BMN中，

∠E=∠MBN EM=BM ∠DME=∠NMB

∴△EMD≌△BMN（ASA），
∴BN=DE=DA，MN=MD，
∵∠DAE=∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠DAB=∠NBC=90°
∵在△DCA和△NCB中

DA=BN ∠DAC=∠NBC CA=BC

，
∴△DCA≌△NCB（SAS），
∴∠DCA=∠NCB，DC=CN，
∴∠DCN=∠ACB=90°，
∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底邊的中線，
∴CM⊥DM，∠DCM=

1

2

∠DCN=45°=∠CDM，
∴△CMD為等腰直角三角形．
∴DC=

2

CM．

點評：本題綜合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，此題綜合性比較強，培養(yǎng)了學生分析問題和解決問題的能力，類比思想的運用，題型較好，難度較大．