Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，點(diǎn)D是射線CB上任意一點(diǎn)，△ADE是等邊三角形，且點(diǎn)D在∠ACB的內(nèi)部，連接BE．探究線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你完成下列探究過(guò)程：

先將圖形特殊化，得出猜想，再對(duì)一般情況進(jìn)行分析并加以證明．
(1)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)(如圖2)，請(qǐng)你補(bǔ)全圖形．由∠BAC的度數(shù)為_(kāi)_______，點(diǎn)E落在_________________，容易得出BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)__________；
(2)當(dāng)點(diǎn)D在如圖3的位置時(shí)，請(qǐng)你畫(huà)出圖形，研究線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系是否與(1)中的結(jié)論相同，寫出你的猜想并加以證明．

Answer 1

60°；AB的中點(diǎn)處；BE=DE；BE=DE．

詳解：(1)如圖4，∵∠C=90°，∠ABC=30°，∴∠BAC=60°，
∵△ADE是等邊三角形，∴AE=CE，
∴點(diǎn)E落在AB的中點(diǎn)處，∴AE=CE=BE=DE；
(2)如圖5，猜想：BE=DE．
證明：取AB的中點(diǎn)F，連接EF．
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠1=60°，CF=AF=AB，
∴△ACF是等邊三角形，∴AC=AF，

∵△ADE是等邊三角形，
∴∠2=60°，AD=AE ，∴∠1=∠2．
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD．即∠CAD=∠FAE，
在△ACD和△AFE中，，

∴△ACD≌△AFE(SAS)，∴∠ACD=∠AFE=90°，
∵F是AB的中點(diǎn)，
∴EF是AB的垂直平分線，∴BE=AE，
∵△ADE是等邊三角形，
∴DE=AE，∴BE=DE．