Question

已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，BC=11，梯形的高是8；
（1）求梯形的腰長AB；
（2）探究對角線AC與BD是否垂直？并給出證明．

Answer 1

分析：（1）過點A作AE∥DC，過點A作AF⊥BC，則可得出BF=EF，從而在RT△ABF中求出AB的長度．
（2）過點D作DM∥AC，則可得出BM的值，若AC⊥BD，則有梯形的高等于BM長度的一半，據(jù)此判斷即可．

解答：解：（1）

過點A作AE∥DC，過點A作AF⊥BC，
則BE=BC-AD=6，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC=AE，
故可得BF=FE=

1

2

BE=3，
在RT△ABF中，AB=

AF2+BF2

=

73

．
（2）AC與BD垂直．
過點D作DM∥AC，

若BD⊥AC，則△BDM為等腰直角三角形，
此時梯形的高DN應(yīng)該為BM的一半，
而

1

2

BM=

1

2

（BC+CM）=

1

2

（BC+AD）=8=DN，
故AC與BD垂直．

點評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握涉及等腰梯形的幾種常見的輔助線的作法，難度一般．