Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，在AB、AC上分別找點E、F，使AE=AF，將△AFE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，EF的中點O恰好落在AB的中點，延長AF交BC于D，連接BE．
（1）四邊形BDFE是什么特殊四邊形？說明理由．
（2）是否存在Rt△ABC中，使得圖中四邊形BDFE為菱形？若不存在，說明理由；若存在．求出此時Rt△ABC的面積與△AFE面積的倍數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）由于AE=AF，且O是EF中點，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：AO⊥EF，即FO∥BD，從而證得OF是△ABD的中位線，由此可得BD=2OF=EF，那么BD、EF平行且相等，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可判斷出四邊形BDFE的形狀．
（2）當(dāng)四邊形BDFE是菱形時，BD=FD，即AF=2BD，由此可得∠FAO=30°，∠BAC=∠EAF=60°；易證得△FOA∽△ABC，首先求出FO、OA即FO、AB的比例關(guān)系，即可得到△AFO、△ABC的面積比，進而可得到△AEF、△ABC的面積比．

解答：解：（1）四邊形BDFE是平行四邊形；
理由：∵AE=AF，且O是EF中點，
∴AO⊥EF，即EF∥BD；
∵O是AB中點，
∴OF是△ABD的中位線，即BD=2OF=EF，
∴BD、EF平行且相等，
∴四邊形BDFE是平行四邊形．

（2）若四邊形BDFE是菱形，則DF=BD，即AD=2BD，
∴∠BAD=30°，∠BAC=∠EAF=60°；
∵∠FAO=∠C=30°，∠FOA=∠ABC=90°，
∴△FOA∽△ABC，
在Rt△AOF中，∠FAO=30°，則AO=

3

OF，即AB=2

3

OF；
∴S_△ABC=（2

3

）²S_△FOC=12S_△FOC，
又∵S_△FAE=2S_△FOC，
∴S_△ABC=6S_△FAE．

點評：此題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行四邊形的判定、菱形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，難度中等．