Question

（2010•仙桃）正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線DB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是DB所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．
（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)（如圖①），猜測(cè)AP與EF的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上（不與點(diǎn)D、O、B重合）時(shí)（如圖②），探究（1）中的結(jié)論是否成立？若成立???寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在DB的長(zhǎng)延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)將圖③補(bǔ)充完整，并判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，直接寫出結(jié)論；若不成立，請(qǐng)寫出相應(yīng)的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，則AC必過(guò)O點(diǎn)，延長(zhǎng)FO交AB于M，由于O是BD中點(diǎn)，易證得△AOM≌△FOE，則AO=EF，且∠AOM=∠FOC=∠OFE=45°，由此可證得AP⊥EF．
（2）方法與①類似，延長(zhǎng)FP交AB于M，延長(zhǎng)AP交BC于N，易證得四邊形MBEP是正方形，可證得△APM≌△FEP，則AP=EF，∠APM=∠FEP；而∠APM=∠FPN=∠PEF，且∠PEF與∠PFE互余，故∠PFE+∠FPN=90°，由此可證得AP⊥EF，所以（1）題的結(jié)論仍然成立．
（3）解題思路和方法同（2）．
解答：解：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：
連接AC，則AC必過(guò)點(diǎn)O，延長(zhǎng)FO交AB于M；
∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四邊形ABCD是正方形，
∴四邊形OECF是正方形，
∴OM=OF=OE=AM，
∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，
∴△AMO≌△FOE（AAS），
∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．

（2）題（1）的結(jié)論仍然成立，理由如下：
延長(zhǎng)AP交BC于N，延長(zhǎng)FP交AB于M；
∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，
∴四邊形MBEP是正方形，
∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，
∴AM=PF，
∴△AMP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF
∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，
∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．

（3）題（1）（2）的結(jié)論仍然成立；
如右圖，延長(zhǎng)AB交PF于H，證法與（2）完全相同．
點(diǎn)評(píng)：充分利用正方形的性質(zhì)，靈活的構(gòu)造全等三角形，并能夠根據(jù)全等三角形的性質(zhì)來(lái)得到所求的條件是解決此題的關(guān)鍵．