Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，CD⊥AB于點E，點G在直徑DF的延長線上，∠D=∠G=30．
（1）求證：CG是⊙O的切線；
（2）若CD=6，求GF的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠DCG=180°-∠D-∠G=120°，再計算出∠GCO的度數(shù)可得OC⊥CG，進而得到CG是⊙O的切線；
（2）設(shè)EO=x，則CO=2x，再利用勾股定理計算出EO的長，進而得到CO的長，然后再計算出FG的長即可．

解答：（1）證明：連接OC．
∵OC=OD，∠D=30°，
∴∠OCD=∠D=30°．
∵∠G=30°，
∴∠DCG=180°-∠D-∠G=120°．
∴∠GCO=∠DCG-∠OCD=90°．
∴OC⊥CG．
又∵OC是⊙O的半徑．
∴CG是⊙O的切線．

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴CE=

1

2

CD=3．
∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE=30°，
∴EO=

1

2

CO，CO²=EO²+CE²．
設(shè)EO=x，則CO=2x．
∴（2x）²=x²+3²．
解得x=

3

（舍負(fù)值）．
∴CO=2

3

．      
∴FO=2

3

．
在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°，
∴GO=2CO=4

3

．
∴GF=GO-FO=2

3

．

點評：此題主要考查了切線的判定，關(guān)鍵是掌握切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．