Question

取一張矩形的紙進(jìn)行折疊，具體操作過(guò)程如下：
第一步：先把矩形ABCD對(duì)折，折痕為MN，如圖（1）所示；
第二步：再把B點(diǎn)疊在折痕線MN上，折痕為AE，點(diǎn)B在MN上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，得Rt△AB′E，如圖（2）所示；
第三步：沿EB′線折疊得折痕EF，如圖（3）所示；利用展開(kāi)圖（4）所示．

探究：
（1）△AEF是什么三角形？證明你的結(jié)論．
（2）對(duì)于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如圖（5），將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A落在DC邊上的點(diǎn)A′處，x軸垂直平分DA，直線EF的表達(dá)式為y=kx-k （k＜0）
①問(wèn)：EF與拋物線y=-

1

8

x2 有幾個(gè)公共點(diǎn)？
②當(dāng)EF與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)A′（x，y），求

x

y

的值．

Answer 1

（1）△AEF是等邊三角形
證明：∵PE=PA，
B′P是RT△AB′E斜邊上的中線
∴PA=B′P，
∴∠EAB′=∠PB′A，
又∵PN∥AD，
∴∠B′AD=∠PB′A，
又∵2∠EAB′+∠B′AD=90°，
∴∠EAB′=∠B′AD=30°，
易證∠AEF=60°，∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等邊三角形；

（2）不一定，
設(shè)矩形的長(zhǎng)為a，寬為b，可知b≤

3

2

a時(shí)，一定能折出等邊三角形，
當(dāng)

3

2

a＜b＜a時(shí)，不能折出；

（3）①由

y=kx-k y=- 1 8 x2

，
得x²+8kx-8k=0，△=（8k）²+32k=32k（2k+1），
∵k＜0．
∴k＜-

1

2

時(shí)，△＞0，EF與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)．
當(dāng)k=-

1

2

，△=0時(shí)，EF與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)．
當(dāng)k＞-

1

2

，△＜0時(shí)，EF與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，
②EF與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，k=-

1

2

，
EF的表達(dá)式為y=-

1

2

x+

1

2

，
EF與x軸、y軸的交點(diǎn)為M（1，0），E（0，

1

2

），
∵∠EMO=90°-∠OEM=∠EAA′，
∴RT△EMO∽RT△A′AD，

OE

OM

=

DA/

DA

，
即

1 2

1

=

x

2y

，
∴

x

y

=1．