Question

如圖，在□ABCD中，∠ABD的平分線BE交AD于點E，∠CDB的平分線DF交BC于點F，連接BD．

（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝DB，求證：四邊形DFBE是矩形．

Answer 1

（1）可證∠A＝∠C，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF則△ABE≌△CDF
（2）可證明在□ABCD中，AD∥BC，∠EDF＝90°。所以四邊形DFBE是矩形

解析試題分析：證明：（1）在□ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．

∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB．
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠ABE＝∠ABD，∠CDF＝∠CDB．
∴∠ABE＝∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
∵∠A＝∠C，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
∴△ABE≌△CDF．  
（2）∵AB＝DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB＝90°．
∵AB＝DB，AB＝CD，∴DB＝CD．
∵DF平分∠CDB，∴DF⊥BC，即∠BFD＝90°．
在□ABCD中，∵AD∥BC，∴∠EDF＋∠DEB＝180°．
∴∠EDF＝90°．
∴四邊形DFBE是矩形．
考點：全等三角形和矩形的判定
點評：本題難度中等，主要考查學生對全等三角形和矩形的判定知識點的掌握。