Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，拋物線y=x²+bx+3與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，tan∠ABO=

1

3

，頂點(diǎn)為P．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線向上或向下平移|k|個(gè)單位長(zhǎng)度后經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（-5，6），試求k的值及平移后拋物線的最小值；
（3）設(shè)平移后的拋物線與y軸相交于D，頂點(diǎn)為Q，點(diǎn)M是平移的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．請(qǐng)?zhí)骄浚寒?dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，△MBD的面積是△MPQ面積的2倍求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．友情提示：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸是x=-

b

2a

，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式即可得出B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），即OB=3，在直角三角形OAB中，根據(jù)OB的長(zhǎng)和∠ABO的正切值即可求出OA的長(zhǎng)，也就能得知A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出拋物線的解析式．
（2）可用k表示出平移后拋物線的解析式，已知了平移后的拋物線過(guò)點(diǎn)C（-5，6），那么可將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入其中，即可求出k的值．進(jìn)而可根據(jù)得出的二次函數(shù)求出其最小值．
（3）本題要先求出BD和PQ的長(zhǎng)，根據(jù)（2）可得出BD=PQ=2，因此要使△MBD的面積是△MPQ面積的2倍，只需讓M到y(tǒng)軸的距離等于M到拋物線對(duì)稱軸（即PQ）的距離的2倍即可．因此本題可分三種情況進(jìn)行討論：
①M(fèi)在拋物線對(duì)稱軸和y軸的左側(cè)時(shí)；②M在拋物線對(duì)稱軸和y軸之間；③M在y軸和拋物線對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)．
根據(jù)上述三種情況可得出三個(gè)不同的M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中即可得出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）令x=0，則y=3．
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），OB=3．
∵tan∠OAB=

OA

AB

=

OA

3

=

1

3

，
∴AO=1．
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）．
∴0=（-1）²+b（-1）+3．
求得b=4．
∴所求的拋物線解析式為y=x²+4x+3．

（2）設(shè)平移后拋物線的解析式為y=x²+4x+3+k．
∵它經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-5，6），
∴6=（-5）²+4（-5）+3+k．
∴k=-2．
∴平移后拋物線的解析式為y=x²+4x+3-2=x²+4x+1．
配方，得y=（x+2）²-3．
∵a=1＞0，
∴平移后的拋物線的最小值是-3．

（3）由（2）可知，BD=PQ=2，對(duì)稱軸為x=-2．
又S_△MBD=2S_△MPQ，
∴BD邊上的高是PQ邊上的高的2倍．
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n）．
①當(dāng)M點(diǎn)的對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，則有0-m=2（-2-m）．
∴m=-4．
∴n=（-4）²+4（-4）+1=1．
∴M（-4，1）．
②當(dāng)M點(diǎn)在對(duì)稱軸與y軸之間時(shí)，則有0-m=2[m-（-2）]．
∴m=-

4

3

．
∴n=（-

4

3

）²+4（-

4

3

）+1=-

23

9

．
∴M（-

4

3

，-

23

9

）．
③當(dāng)M點(diǎn)在y軸的右側(cè)時(shí)，則有m=2[（m-（-2）]．
∴m=-4＜0，不合題意，應(yīng)舍去．
綜合上述，得所求的M點(diǎn)的坐標(biāo)是（-4，1）或（-

4

3

，-

23

9

）．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象的平移、三角形面積的計(jì)算方法等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．