Question

如圖1，在△ABC中，E為對(duì)角線AB上一點(diǎn)，以AE為一邊作正方形AEFH，點(diǎn)F在AC上，連接BF，G為BF中點(diǎn)，連接EG，CG．
（1）求證：EG=CG；
（2）將圖1中正方形AEFH繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，如圖2所示，取BF中點(diǎn)G，連接EG，CG．問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；
（3）將圖1中正方形AEFH繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG．
（2）結(jié)論仍然成立，延長(zhǎng)CG至M，使MG=CG，連接MF，ME，EC，再證明△DCG≌△FMG．得出EF⊥MF；再證出△MFE≌△CBE得到MG=CG；再證明△AMG≌△ENG，最后證出CG=EG．
（3）結(jié)論依然成立．還知道EG⊥CG．

解答：（1）證明：在Rt△FCB中，
∵G為BF的中點(diǎn)，
∴CG=

1

2

FB，
同理，在Rt△BEF中，
EG=

1

2

FB，
∴CG=EG．

解：（2）（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG
延長(zhǎng)CG至M，使MG=CG，
連接MF，ME，EC，
在△BCG與△FMG中，
∵FG=BG，∠MGF=∠CGB，MG=CG，
∴△BCG≌△FMG．
∴MF=CB，∠FMG=∠BCG，
∴MF∥CB，
∴EF⊥MF．
在Rt△MFE與Rt△CAE中，
∵M(jìn)F=CA，EF=AE，
∴△MFE≌△CAE
∴∠MEF=∠CEA．
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEA+∠CEF=90°，
∴△MEC為直角三角形．
∵M(jìn)G=CG，
∴EG=

1

2

MC，
∴EG=CG．

（3）（1）中的結(jié)論仍然成立．
即EG=CG．其他的結(jié)論還有：EG⊥CG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)，利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)．