【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點A,C分別是直線y=x+4與坐標(biāo)軸的交點,點B的坐標(biāo)為(﹣2,0),點D是邊AC上的一點,DEBC于點E,點F在邊AB上,且D,F兩點關(guān)于y軸上的某點成中心對稱,連結(jié)DFEF.設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m,EF2l,請?zhí)骄浚?/span>

①線段EF長度是否有最小值.

②△BEF能否成為直角三角形.

小明嘗試用觀察﹣猜想﹣驗證﹣應(yīng)用的方法進行探究,請你一起來解決問題.

1)小明利用幾何畫板軟件進行觀察,測量,得到lm變化的一組對應(yīng)值,并在平面直角坐標(biāo)系中以各對應(yīng)值為坐標(biāo)描點(如圖2).請你在圖2中連線,觀察圖象特征并猜想lm可能滿足的函數(shù)類別.

2)小明結(jié)合圖1,發(fā)現(xiàn)應(yīng)用三角形和函數(shù)知識能驗證(1)中的猜想,請你求出l關(guān)于m的函數(shù)表達式及自變量的取值范圍,并求出線段EF長度的最小值.

3)小明通過觀察,推理,發(fā)現(xiàn)△BEF能成為直角三角形,請你求出當(dāng)△BEF為直角三角形時m的值.

【答案】1)連線見解析,二次函數(shù);(2;(3m=0m=

【解析】

1)根據(jù)描點法畫圖即可;

2)過點F,D分別作FG,DH垂直于y軸,垂足分別為G,H,證明RtFGKRtDHKAAS),由全等三角形的性質(zhì)得出FG=DH,可求出F(﹣m,﹣2m+4),根據(jù)勾股定理得出l=EF2=8m216m+16=8m12+8,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案;

3)分三種不同情況,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出m的方程,解方程求出m的值,則可求出答案.

解:(1)用描點法畫出圖形如圖1,由圖象可知函數(shù)類別為二次函數(shù).

2)如圖2,過點FD分別作FGDH垂直于y軸,垂足分別為G,H,

則∠FGK=DHK=90°,

FDy軸于點K,

D點與F點關(guān)于y軸上的K點成中心對稱,

KF=KD,

∵∠FKG=DKH,

RtFGKRtDHKAAS),

FG=DH

∵直線AC的解析式為y=x+4,

x=0時,y=4,

A0,4),

又∵B(﹣20),

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,

,

解得

∴直線AB的解析式為y=2x+4,

過點FFRx軸于點R,

D點的橫坐標(biāo)為m,

F(﹣m,﹣2m+4),

ER=2mFR=2m+4,

EF2=FR2+ER2,

l=EF2=8m216m+16=8m12+8

令﹣+4=0,得x=

0≤m

∴當(dāng)m=1時,l的最小值為8,

EF的最小值為2

3)①∠FBE為定角,不可能為直角.

②∠BEF=90°時,E點與O點重合,D點與A點,F點重合,此時m=0

③如圖3,∠BFE=90°時,有BF2+EF2=BE2

由(2)得EF2=8m216m+16,

又∵BR=m+2,FR=2m+4

BF2=BR2+FR2=(﹣m+22+(﹣2m+42=5m220m+20,

又∵BE2=m+22,

∴(5m220m+8+8m216m+162=m+22

化簡得,3m210m+8=0,

解得m1=,m2=2(不合題意,舍去),

m=

綜合以上可得,當(dāng)△BEF為直角三角形時,m=0m=

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B.當(dāng)nm1時,ba有最大值

C.當(dāng)ba1時,nm無最小值

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.實心球成績的頻數(shù)分布表如下:

分組

62≤66

66≤70

70≤74

74≤78

78≤82

82≤86

頻數(shù)

2

10

6

2

1

.實心球成績在70≤74.這組的是:

7.0

7.0

7.0

7.1

7.1

7.1

7.2

7.2

7.3

7.3

.一分鐘仰臥起坐成績?nèi)鐖D所示:

根據(jù)以上信息,回答下列問題:

1)①表中m的值為 ;

②抽取學(xué)生一分鐘仰臥起坐成績的中位數(shù)為 個;

2)若實心球成績達到72米及以上,成績記為優(yōu)秀,請估計全年級女生成績達到優(yōu)秀的人數(shù).

3)該年級某班體育委員將本班在這次抽樣測試中被抽取的8名女生的兩項成績的數(shù)據(jù)抄錄如下:

女生代碼

A

B

C

D

E

F

G

H

實心球

81

77

75

75

73

72

70

65

一分鐘仰臥起坐

*

42

47

*

47

52

*

49

其中有2名女生的一分鐘仰臥起坐成績未抄錄完整,當(dāng)老師說這8名女生恰好有4人兩項測試成績都達到了優(yōu)秀,于是體育委員推測女生E的一分鐘仰臥起坐成績達到了優(yōu)秀,你同意體育委員的說法嗎?并說明你的理由.

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