Question

如圖，⊙O的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，直線y=x+b（b＞0）與⊙O交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O關(guān)于直線y=x+b的對(duì)稱點(diǎn)O′，
（1）求證：四邊形OAO′B是菱形；
（2）當(dāng)點(diǎn)O′落在⊙O上時(shí)，求b的值．

Answer 1

（1）證明：連接OO′，
∵點(diǎn)O關(guān)于直線y=x+b的對(duì)稱，
∴直線y=x+b是線段OO′的垂直平分線，
∴AO=AO′，BO=BO′，
又∵OA，OB是⊙O的半徑，
∴OA=OB，
∴AO=AO′=BO=BO′，
∴四邊形OAO′B是菱形．

（2）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)O′落在圓上時(shí)，
∵OM=OO′=1，
∵設(shè)直線y=x+b與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是N（-b，0），P（0，b），
∴△ONP為等腰直角三角形，
∴∠ONP=45°，
∵四邊形OAO′B是菱形，
∴OM⊥PN，
∵∠ONP=45°=∠OPN，
∴OM=PM=MN=1，
在Rt△POM中，由勾股定理得：OP=，
即b=．
分析：（1）根據(jù)軸對(duì)稱得出直線y=x+b是線段OO′的垂直平分線，推出AO=AO′，BO=BO′，求出AO=AO′=BO=BO′，即可推出答案；
（2）設(shè)直線y=x+b與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是N（-b，0），P（0，b），得出等腰直角三角形ONP，求出OM⊥NP，求出MP=OM=1，根據(jù)勾股定理求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)，等腰直角三角形，勾股定理，菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，注意：圖形和已知條件的結(jié)合，題目比較典型，難度也適中，是一道比較好的題目．