如圖,已知拋物線y=x2-1與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C.

(1)求A、B、C三點的坐標.
(2)過點A作AP∥CB交拋物線于點P,求四邊形ACBP的面積.
(3)在軸上方的拋物線上是否存在一點M,過M作MG軸于點G,使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似.若存在,請求出M點的坐標;否則,請說明理由.

(1) A(-1,0),B(1,0),C(0,-1);(2)4;(3)(-2,3),(,),(4,15).

解析試題分析:(1)拋物線與x軸的交點,即當y=0,C點坐標即當x=0,分別令y以及x為0求出A,B,C坐標的值;
(2)四邊形ACBP的面積=△ABC+△ABP,由A,B,C三點的坐標,可知△ABC是直角三角形,且AC=BC,則可求出△ABC的面積,根據(jù)已知可求出P點坐標,可知AP的長度,以及點B到直線的距離,從而求出△ABP的面積,則就求出四邊形ACBP的面積;
(3)假設存在這樣的點M,兩個三角形相似,根據(jù)題意以及上兩題可知,∠PAC∠和∠MGA是直角,只需證明即可.設M點坐標,根據(jù)題中所給條件可求出線段AG,CA,MG,CA的長度,然后列等式,分情況討論,求解.
試題解析: (1)令y=0,
得x2-1=0
解得x=±1,
令x=0,得y=-1
∴A(-1,0),B(1,0),C(0,-1);
(2)∵OA=OB=OC=1,
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°.
∵AP∥CB,
∴∠PAB=45°.
過點P作PE⊥x軸于E,則△APE為等腰直角三角形,

令OE=A,則PE=A+1,
∴P(A,A+1).
∵點P在拋物線y=x2-1上,
∴A+1=A2-1.
解得A1=2,A2=-1(不合題意,舍去).
∴PE=3.
∴四邊形ACBP的面積S=AB•OC+AB•PE=×2×1+×2×3=4;
(3)假設存在
∵∠PAB=∠BAC=45°,
∴PA⊥AC
∵MG⊥x軸于點G,
∴∠MGA=∠PAC=90°
在Rt△AOC中,OA=OC=1,
∴AC=
在Rt△PAE中,AE=PE=3,
∴AP=3
設M點的橫坐標為m,則M(m,m2-1)
①點M在y軸左側(cè)時,則m<-1.

(。┊敗鰽MG∽△PCA時,有
∵AG=-m-1,MG=m2-1.

解得m1=-1(舍去)m2=(舍去).
(ⅱ)當△MAG∽△PCA時有,

解得:m=-1(舍去)m2=-2.
∴M(-2,3)(10分).
②點M在y軸右側(cè)時,則m>1

(。┊敗鰽MG∽△PCA時有
∵AG=m+1,MG=m2-1

解得m1=-1(舍去)m2=
∴M(,).
(ⅱ)當△MAG∽△PCA時有,

解得:m1=-1(舍去)m2=4,
∴M(4,15).
∴存在點M,使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似
M點的坐標為(-2,3),(,),(4,15).
考點: 二次函數(shù)綜合題.

練習冊系列答案
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(1)求該拋物線的解析式.
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某公司生產(chǎn)的一種健身產(chǎn)品在市場上受到普遍歡迎,每年可在國內(nèi)、國外市場上全部售完,該公司的年產(chǎn)量為6千件,若在國內(nèi)市場銷售,平均每件產(chǎn)品的利潤y1(元)與國內(nèi)銷售數(shù)量x(千件)的關(guān)系為:y1=若在國外銷售,平均每件產(chǎn)品的利潤y2(元)與國外的銷售數(shù)量t(千件)的關(guān)系為: y2=
(1)用x的代數(shù)式表示t,則t=__________;當0<x≤3時,y2與x的函數(shù)關(guān)系式為:y2=__________________;當3≤x<________時,y2=100;
(2)當3≤x<6時,求每年該公司銷售這種健身產(chǎn)品的總利潤w(千元)與國內(nèi)的銷售數(shù)量x(千件)的函數(shù)關(guān)系式,并求此時的最大利潤.

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(1)求點C的坐標及梯形ABCO的面積;
(2)當點Q在CO邊上運動時,求△OPQ的面積S與運動時間t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍;
(3)以O,P,Q為頂點的三角形能構(gòu)成直角三角形嗎?若能,請求出t的值;若不能,請說明理由.

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(1)求拋物線的解析式;
(2)設拋物線頂點為D,求四邊形AEDB的面積;
(3)△AOB與△DBE是否相似?如果相似,請給以證明;如果不相似,請說明理由。

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