Question

如圖．已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，過直角頂點C作CA₁⊥AB，垂足為A₁，再過A₁作A₁C₁⊥BC，垂足為C₁，過C₁作C₁A₂⊥AB，垂足為A₂，再過A₂作A₂C₂⊥BC，垂足為C₂，…，這樣一直做下去，得到了一組線段CA₁，A₁C₁，C₁A₂，…，則CA₁=

 

，

CnAn+1

AnCn

（其中n為正整數(shù)）=

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：由Rt△ABC中，AC=3，BC=4，可求得AB的長，然后由CA₁⊥AB，利用三角形的面積可得，直角三角形斜邊上的高等于直角邊相乘除以斜邊，即可求得CA₁的長，然后由三角形函數(shù)的性質(zhì)，求得

CnAn+1

AnCn

（其中n為正整數(shù)）的值．

解答：解：∵Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∵CA₁⊥AB，
∴CA₁=

AC•BC

AB

=

12

5

，cos∠B=

AC

AB

=

4

5

，
∵A₁C₁⊥BC，
∴∠CA₁B=∠A₁C₁B=90°，
∴∠CA₁C₁+∠A₁CB=∠B+∠A₁CB=90°，
∴∠CA₁C₁=∠B，
同理：∠A_nC_nA_n+1=∠B，
∴cos∠A_nC_nA_n+1=

CnAn+1

AnCn

=

4

5

．
故答案為：

12

5

，

4

5

．

點評：此題考查了直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意得到∠A_nC_nA_n+1=∠B是解此題的關(guān)鍵．