Question

已知二次函數(shù)y=x²-x+c
（1）若點A（-1，n）、B（2，2n-1）在二次函數(shù)y=x²-x+c的圖象上，求此二次函數(shù)的最小值．
（2）若點D（x₁、y₁）、E（x₂、y₂）在拋物線y=x²-x+c上，且D、E兩點關于原點成中心對稱，求直線DE的函數(shù)關系式．
（3）若點P（m，m）（m＞0）在拋物線y=x²-x+c上，連接PO，當≤PO≤+2時，試判斷（2）中的直線DE與拋物線y=x²-x+c+的交點個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得，
解得，
∴有y=x²-x-1，
=（x-）²-．
∴二次函數(shù)y=x²-x-1的最小值是-；

（2）解法1：
∵點D、E關于原點成中心對稱，
∴x₂=-x₁，y₂=-y₁．
∴，
∴2y₁=-2x₁，y₁=-x₁．
設直線DE：y=kx．
有-x₁=kx₁．
由題意，存在x₁≠x₂．
∴存在x₁，使x₁≠0．
∴k=-1．
∴直線DE：y=-x．
解法2：設直線DE：y=kx．
則根據(jù)題意有kx=x²-x+c，即x²-（k+1）x+c=0．
∴方程x²-（k+1）x+c=0有實數(shù)根．
∵x₁+x₂=0，
∴k+1=0．
∴k=-1．
∴直線DE：y=-x；

（3）∵點P（m，m）（m＞0），
∴PO=m．
∴2≤m≤+2．
∴2≤m≤1+．
∵點P（m，m）（m＞0）在二次函數(shù)y=x²-x+c的圖象上，
∴m=m²-m+c，即c=-m²+2m．c是關于m的二次函數(shù)
∵此拋物線開口向下，且對稱軸m=1，
∴當2≤m≤1+時，c隨著m的增大而減小
∴-1≤c≤0．
對于方程組消去y，則有x²+c+=0．即x²=-c-．
①當-c-=0時，即c=-時，方程x²=-c-有兩個相等的實數(shù)根，
即直線y=-x與拋物線y=x²-x+c+有唯一交點．
②當-c-＞0時，即c＜-時，即-1≤c＜-時，
方程x²=-c-有兩個不等實數(shù)根，
即直線y=-x與拋物線y=x²-x+c+有兩個不同的交點．
③當-c-＜0時，即c＞-時，即-＜c≤0時，
方程x²=-c-沒有實數(shù)根，
即直線y=-x與拋物線y=x²-x+c+沒有交點．
分析：（1）根據(jù)點A（-1，n）、B（2，2n-1）在二次函數(shù)y=x²-x+c的圖象上，直接代入函數(shù)解析式求出即可；
（2）根據(jù)點D、E關于原點成中心對稱，得出x₂=-x₁，y₂=-y₁，進而求出2y₁=-2x₁，y₁=-x₁，即可得出k的值；
（3）根據(jù)點P（m，m）（m＞0），PO=m，得出2≤m≤+2，進而得出-1≤c≤0，再分別分析當-c-=0時，當-c-＞0時，當-c-＜0時，得出方程的根的情況．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法等知識點．主要考查學生數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，以及分類討論思想的應用．