Question

已知：如圖，EF是矩形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線，EF與對(duì)角線AC及邊AD、BC分別交于點(diǎn)O、E、F．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）如果FE=2ED，求AE：ED的值．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠2．
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF
∴四邊形AFEC是平行四邊形．
又EF⊥AC，
∴四邊形AFEC是菱形；

（2）解：由（1）知：FE=2EO，
又∵FE=2ED，
∴EO=ED，
又EO⊥AC，ED⊥DC，
∴∠3=∠4，
由（1）知，四邊形AFEC是菱形，
∴AE=EC，∠2=∠3，
∴∠2=∠3=∠4=∠BCD=30°
又∠D=90°，
∴EC=2ED
∴AE=2ED，即AE：ED=2：1=2．
分析：（1）要證四邊形AFCE是菱形，只需通過(guò)定義證明四邊相等即可．此題實(shí)際是對(duì)判定菱形的方法“對(duì)角形垂直平分的四邊形為菱形”的證明；
（2）根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分知，F(xiàn)E=2EO，又∵FE=2ED，可證Rt△OEC≌Rt△DEC，
又∠D=90°，∴EC==2ED，∴AE=2ED，即AE：ED=2：1=2．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了：1、中垂線的性質(zhì)；2、矩形的性質(zhì)；3、全等三角形的判定和性質(zhì)；4、菱形的判定和性質(zhì)；5、正弦的概念．