Question

已知點(diǎn)A（0，2）、B（2

3

，2）、C（0，4）．
（1）如圖1，連接BO、BC、AB．
①填空：AC的長為

2

，AB的長為

2

3

；
②試判斷△OBC的形狀，并說明理由；
（2）如圖2，過點(diǎn)C向右作平行于x軸的射線，點(diǎn)P是射線上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，以BP為一邊在△ABP外側(cè)作等邊△BPQ，當(dāng)四邊形ABQP為梯形時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）①由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求出AC=4-2=2，AB=2

3

；
②運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求出OB=4，BC=4，OC=4，根據(jù)三邊相等的三角形是等邊三角形即可得出△OBC是等邊三角形；
（2）當(dāng)四邊形ABQP為梯形時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論：①PQ∥AB；②P點(diǎn)與C點(diǎn)重合；③BP⊥CP．

解答：解：（1）①∵A（0，2）、B（2

3

，2）、C（0，4），
∴AC=4-2=2，AB=2

3

．
故答案為2，2

3

；

②△OBC是等邊三角形．理由如下：
∵O（0，0），B（2

3

，2），C（0，4），
∴OB=

(2 3 )2+22

=4，BC=

(2 3 )2+(4-2)2

=4，OC=4，
∴OB=BC=OC，
∴△OBC是等邊三角形；

（2）分三種情況討論：
①當(dāng)PQ∥AB時(shí)，如圖1．
點(diǎn)Q在CP上，作BD⊥CQ于D，則四邊形ABDC是矩形，
∴BD=AC=2，CD=AB=2

3

．
∵△BPQ是等邊三角形，
∴BD平分PQ，平分∠PBQ，
∴PD=BD•tan30°=2×

3

3

=

2 3

3

，
∴CP=2

3

-

2 3

3

=

4 3

3

，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是：

4 3

3

；
②如圖2，當(dāng)P點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，
∵在Rt△ABC中，tan∠ABC=

AC

AB

=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠ABC=30°，
∵∠CBQ=60°，
∴∠ABQ=90°，
∴BQ∥AC，又CQ與AB不平行，
∴四邊形ABQP是梯形，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是0；
③如圖3，當(dāng)BP⊥CP時(shí)，
∵CP∥AB，
∴BP⊥AB，
∵在Rt△ABP中，tan∠APB=

AB

BP

=

2 3

2

=

3

，
∴∠APB=60°．
∵△BPQ是等邊三角形，
∴∠PBQ=60°，
∴∠APB=∠PBQ，
∴AP∥BQ，
∴四邊形ABQP是梯形，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2

3

．
綜上所述，四邊形ABQP為梯形時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是

4 3

3

或0或2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩點(diǎn)間的距離公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，梯形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出符合要求的圖形，然后利用數(shù)形結(jié)合思想求解．