Question

如圖，點A、B、C、D是直徑為AB的⊙O上四個點，C是劣弧BD的中點，AC交BD于點E，AE=2，EC=1．
（1）求證：△DEC∽△ADC；
（2）試探究四邊形ABCD是否是梯形？若是，請你給予證明并求出它的面積；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圓周角定理，同弧所對的圓周角相等易得∠DAC=∠BDC，再由C是劣弧BD的中點，得到=，根據等弧所對的圓周角也相等可得∠DAC=∠CAB，等量代換可得三個角都相等，同時又有∠DCA=∠DCA，易得出證明；
（2）根據題意易得DC²=3，DC==BC，進而可得劣弧BD、AD的度數；即∠DCA=∠CAB，可得CD∥AB，且CD≠AB，可判斷得出四邊形ABCD是梯形．
解答：證明：（1）∵C為劣弧BD的中點，
∴=，
∴∠DAC=∠BAC，
又∠DAC和∠BDC對的弧都為，
∴∠DAC=∠BDC．
∴∠BAC=∠BDC，又∠DCA=∠DCA，
∴△DEC∽△ADC．

（2）由（1）知，△DEC∽△ADC，
∴EC：DC=DC：AC．
∴DC²=3，DC==BC．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
在Rt△BCE中，CE=1，BC=，
∴BE=2，
∴∠CBE=30°，
∴∠BAC=∠DAC=30°．
∴劣弧BD的度數為2×2×30°=120°，劣弧AD的度數為60°．
即∠DCA=30°=∠CAB．
∴CD∥AB，且CD≠AB．
∴四邊形ABCD是上底為DC，下底為AB，高為直角三角形斜邊AB邊上的高的梯形．
∵AC=AE+EC=3，BC=，根據勾股定理得AB=2，則∠CAB=30°，
∴直角三角形斜邊AB邊上的高為，
∴S_梯形ABCD==．
點評：本題考查垂弦定理、圓心角、圓周角的應用能力和相似三角形的判定和性質的應用．