Question

在△ABC中，AB=AC，D是BC上的中點，E、F分別是AC、AD上的動點，若∠BAC=40°，則當(dāng)EF+CF取最小值時，∠ECF的度數(shù)為

 

．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：作出圖形，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得點B、C關(guān)于直線AD對稱，過點B作BE⊥AC于E，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，EF+CF=BE，再根據(jù)垂線段最短可得BE⊥AC時，BE最短，先求出∠CAD，再根據(jù)同角的余角相等求出∠CBE=∠CAD，再根據(jù)軸對稱性可得∠CBF=∠CBE，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ACB，再根據(jù)∠ECF=∠ACB-∠BCF計算即可得解．

解答：解：如圖，∵AB=AC，D是BC上的中點，
∴點B、C關(guān)于直線AD對稱，
過點B作BE⊥AC于E，則EF+CF=BE，
由垂線段最短得，BE⊥AC時，BE最短，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD=

1

2

∠BAC=

1

2

×40°=20°，
∵BE⊥AC，
∴∠CBE+∠ACB=90°，
∵AB=AC，D是BC上的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACB=90°，
∴∠CBE=∠CAD=20°，
∵∠BAC=40°，
∴∠ACB=

1

2

×（180°-40°）=70°，
∴∠ECF=∠ACB-∠BCF=70°-20°=50°．
故答案為：50°．

點評：本題考查了軸對稱確定最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并判斷出BE⊥AC時EF+CF取最小值是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．