Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm，線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)D，以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，交折線(xiàn)AC﹣CB于點(diǎn)E，以DE為一邊，在DE左側(cè)作正方形DEFG．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）（0＜x＜4）．正方形DEFG與△ABC重疊部分面積為y（cm2）．

（1）當(dāng)x=s時(shí)，點(diǎn)F在AC上；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）設(shè)正方形DEFG的中心為點(diǎn)O，直接寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直線(xiàn)BO平分△ABC面積時(shí)，自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）解：①如圖2中，當(dāng)0＜x≤2時(shí)，重疊部分是△ADE，

∵∠C=90°，AC=BC，

∴∠CAB=∠AED=45°，

∴AD=DE=x，

∴y=S△ADE= x2，

②如圖3中，當(dāng)2＜x≤ 時(shí)，重疊部分是五邊形MNEDG．

易知FG=GD=DE=DB=4﹣x，MG=AG=x﹣（4﹣x）=2x﹣4，

∴FM=FG﹣MG=（4﹣x）﹣（2x﹣4）=8﹣3x=FN，

∴y=S正方形DEFG﹣S△FMN=（4﹣x）2﹣ （8﹣3x）2=﹣ x2+16x﹣16，

③當(dāng) ＜x＜4時(shí)，重疊部分是正方形DEFG，

y=（4﹣x）2=x2﹣8x+16．

綜上所述，y=

（3）解：如圖5中，當(dāng)2≤x＜4時(shí)，延長(zhǎng)BO交AC于M．

∵OE=OG，EG∥AC，

∴ = = ，

∴CM=AM，

∴直線(xiàn)OB平分△ABC的面積．

∴當(dāng)2≤x＜4時(shí)，直線(xiàn)OB平分△ABC的面積

【解析】解：（1）如圖1中，當(dāng)點(diǎn)F在AB上時(shí)，易證AG=GE=DG=DB= ，

∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間x= = ，

所以答案是 ．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角），以及對(duì)正方形的性質(zhì)的理解，了解正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線(xiàn)與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．