Question

（2012•云南）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-

1

3

x+2交x軸于點P，交y軸于點A．拋物線y=-

1

2

x²+bx+c的圖象過點E（-1，0），并與直線相交于A、B兩點．
（1）求拋物線的解析式（關系式）；
（2）過點A作AC⊥AB交x軸于點C，求點C的坐標；
（3）除點C外，在坐標軸上是否存在點M，使得△MAB是直角三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求出A點坐標，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）利用相似三角形（Rt△OCA∽Rt△OPA）比例線段之間的關系，求出線段OC的長度，從而得到C點的坐標，如題圖所示；
（3）存在所求的M點，在x軸上有3個，y軸上有2個，注意不要遺漏．求點M坐標的過程并不復雜，但要充分利用相似三角形比例線段之間的關系．

解答：解：（1）直線解析式為y=-

1

3

x+2，令x=0，則y=2，
∴A（0，2），
∵拋物線y=-

1

2

x²+bx+c的圖象過點A（0，2），E（-1，0），
∴

2=c 0=- 1 2 -b+c

，
解得

b= 3 2 c=2

．
∴拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（2）∵直線y=-

1

3

x+2分別交x軸、y軸于點P、點A，
∴P（6，0），A（0，2），
∴OP=6，OA=2．
∵AC⊥AB，OA⊥OP，
∴Rt△OCA∽Rt△OPA，∴

OC

OA

=

OA

OP

，
∴OC=

OA2

OP

=

22

6

=

2

3

，
又C點在x軸負半軸上，
∴點C的坐標為C（-

2

3

，0）．

（3）拋物線y=-

1

2

x²+

3

2

x+2與直線y=-

1

3

x+2交于A、B兩點，
令-

1

2

x²+

3

2

x+2=-

1

3

x+2，
解得x₁=0，x₂=

11

3

，
∴B（

11

3

，

7

9

）．
如答圖①所示，過點B作BD⊥x軸于點D，
則D（

11

3

，0），BD=

7

9

，DP=6-

11

3

=

7

3

．
點M在坐標軸上，且△MAB是直角三角形，有以下幾種情況：
①當點M在x軸上，且BM⊥AB，如答圖①所示．
設M（m，0），則MD=

11

3

-m．
∵BM⊥AB，BD⊥x軸，∴

MD

BD

=

BD

DP

，
即

11 3 -m

7 9

=

7 9

7 3

，
解得m=

92

27

，
∴此時M點坐標為（

92

27

，0）；
②當點M在x軸上，且BM⊥AM，如答圖①所示．
設M（m，0），則MD=

11

3

-m．
∵BM⊥AM，易知Rt△AOM∽Rt△MDB，
∴

OM

BD

=

OA

MD

，即

m

7 9

=

2

11 3 -m

，
化簡得：m²-

11

3

m+

14

9

=0，
解得：m₁=

11+ 65

6

，m₂=

11- 65

6

，
∴此時M點坐標為（

11+ 65

6

，0），（

11- 65

6

，0）；
（說明：此時的M點相當于以AB為直徑的圓與x軸的兩個交點）
③當點M在y軸上，且BM⊥AM，如答圖②所示．
此時M點坐標為（0，

7

9

）；
④當點M在y軸上，且BM′⊥AB，如答圖②所示．
設M′（0，m），則AM=2-

7

9

=

11

9

，BM=

11

3

，MM′=

7

9

-m．
易知Rt△ABM∽Rt△BM′M，
∴

AM

BM

=

BM

MM′

，即

11 9

11 3

=

11 3

7 9 -m

，
解得m=-

92

9

，
∴此時M點坐標為（0，-

92

9

）．
綜上所述，除點C外，在坐標軸上存在點M，使得△MAB是直角三角形．
符合條件的點M有5個，其坐標分別為：（

92

27

，0）、（

11+ 65

6

，0）、（

11- 65

6

，0）、（0，

7

9

）或（0，-

92

9

）．

點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)、解一元二次方程、相似三角形的判定與性質(zhì)等重要知識點．難點在于第（3）問，所求的M點有5個（x軸上有3個，y軸上有2個），需要分情況討論，不要遺漏．