Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，8），點(diǎn)P從點(diǎn)C開始以每秒1個(gè)單位長度的速度在線段CB上向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)O開始以每秒a(1≤a≤3)個(gè)單位長度的速度沿射線OA方向移動(dòng)，設(shè)t(0<t≤8)秒后，直線PQ交OB于點(diǎn)D。

（1）求∠AOB的度數(shù)及線段OA的長
（2）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）當(dāng)a=3，OD=時(shí)，求t的值及此時(shí)直線PQ的解析式；
（4）當(dāng)a為何值時(shí)，以O(shè)、Q、D為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似？當(dāng)a為何值時(shí)，以O(shè)、Q、D為頂點(diǎn)的三角形與△OAB不相似？請給出你的結(jié)論，并加以說明.

Answer 1

（1）∠AOB=30°，OA=8；
（2）；
（3）當(dāng)a=3時(shí)，CP=t， OQ=3t，OD=，∴PB=8-t，BD=8
     由△OQD∽△BPD得，即，∴t=。
      當(dāng)t=時(shí)，OQ=，同理可求Q().   
    設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，則 ∴
    ∴直線PQ的解析式為；
（4）當(dāng)a=1時(shí)，△ODQ∽△OBA，當(dāng)1<a<3時(shí)，以O(shè)、Q、D為頂點(diǎn)的三角形與△OAB不能相似，
        當(dāng)a=3時(shí)，△ODQ∽△OAB 理由如下：
① 若△ODQ∽△OBA，可得∠ODQ=∠OBA，此時(shí)PQ//AB，
       故四邊形PCOQ為平行四邊形，∴CP=OQ. 即at=t (0<t≤8)，
         ∴ a=1，故當(dāng)a=1時(shí)，△ODQ∽△OBA，
②若△ODQ∽△OAB.
（Ⅰ）如果P點(diǎn)不與B點(diǎn)重合，此時(shí)必有△PBD∽△QOD.        
∴   ∴即 ∴OD=
 ∵△ODQ∽△OAB，∴，即
  ∴，∵，∴此時(shí)a>3，不符合題意.
∴即時(shí)，以O(shè)、Q、D為頂點(diǎn)的三角形與△OAB不能相似；
 (Ⅱ)當(dāng)P與B重合時(shí)，此時(shí)D點(diǎn)也與B點(diǎn)重合.
       可知此時(shí)，t=8，由△ODQ∽△OAB得 
      ∴OB²=OA·OQ，即（8）²=8×8a，
       ∴a=3，符合題意. 故當(dāng)a=3時(shí)，△ODQ∽△OAB。