兩個全等的Rt△ABC和Rt△DEF重疊在一起，其中∠A=60°，∠ACB=∠DFE=90°且AC=1．固定△ABC不動，將△DEF作如下操作：
（1）如圖1，△DEF沿線段AB向右平移（即D點在線段AB內(nèi)移動），連接DC、CF、FB，四邊形CDBF的面積會變嗎？若不變請求出其面積；
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（2）如圖2，當(dāng)D點移到AB中點時，連接DC、CF、FB，BC與DF相交于點O．除Rt△ABC≌Rt△DEF外，請找出圖中其他所有全等三角形，不必寫理由；
（3）如圖3，△DEF的D點固定在AB的中點，然后繞D點按順時針方向旋轉(zhuǎn)△DEF，使DF落在AB邊上，此時F點恰好與B點重合，連接AE，求：sin∠α的值．
分析：（1）根據(jù)三角形全等和同底等高的三角形面積相等，找出面積相等的圖形；
（2）根據(jù)全等三角形的判定定理解答；
（3）根據(jù)三角函數(shù)的概念解答．
解答：解：（1）因為S四邊形CDBF=S三角形CDF+S三角形FDB=S三角形CAD+S三角形CDB=S△ABC，
所以四邊形CDBF的面積不會變．
S四邊形CDBF=S△ABC=
1
2
×2×
3
2
=
3
2
．

（2）△COD≌△BOD≌△BOF≌△COF；
△ACD≌△FCD≌△BFD；精英家教網(wǎng)
△BCD≌△BCF≌△EFB．

（3）過D點作DH⊥AE于H，在Rt△ABE中，AE=
AB2+BE2
=
7
，
∵∠DAH=∠EAB，∠DHA=∠ABE=90°，
∴△ADH∽△AEB得
DH
BE
=
AD
AE
，即
DH
3
=
1
7
，解得DH=
21
7
，
而DE=AB=2，在Rt△DHE中，sin∠α=
DH
DE
=
21
7
÷2=
21
14
．
點評：此題是一個動點問題，雖然圖形發(fā)生了變化，但根據(jù)同底同底等高的三角形面積相等，找到面積相等的三角形．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖①所示，將一個正三角形紙片沿著它的一條邊上的高剪開，得到如圖②所示的兩個全等的Rt△ABC、Rt△DEF．
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（1）根據(jù)正三角形的性質(zhì)可知：在圖②中，∠ABC=∠DEF=30°，AB=DE=2AC=2DF．由此請你歸納一下在含30°角的直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊之間的關(guān)系：
在含30°角的直角三角形中，30°角所對的直角邊
 
；
（2）將這兩個直角三角形紙片按如圖③放置，使點B、D重合，點F在BC上．固定紙片DEF，將△ABC繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°），使四邊形ACDE為以ED為底的梯形（如圖④所示），求此時α的值；
（3）猜想圖④中AE與CD之間的大小關(guān)系，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，兩個全等的Rt△ABC、Rt△EDC的直角頂點放置在一起，∠B=∠D=30°，AB與CD交于點M，ED與BC交于點N，AB與ED交于點F．
（1）求證：△ACM≌△ECN；
（2）當(dāng)∠MCN=30°時，找出MD與MF的數(shù)量關(guān)系，并加以說明．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•石景山區(qū)一模）如圖，把兩個全等的Rt△AOB和Rt△ECD分別置于平面直角坐標(biāo)系xOy中，使點E與點B重合，直角邊OB、BC在y軸上．已知點D （4，2），過A、D兩點的直線交y軸于點F．若△ECD沿DA方向以每秒
2
個單位長度的速度勻速平移，設(shè)平移的時間為t（秒），記△ECD在平移過程中某時刻為△E′C′D′，E′D′與AB交于點M，與y軸交于點N，C′D′與AB交于點Q，與y軸交于點P（注：平移過程中，點D′始終在線段DA上，且不與點A重合）．
（1）求直線AD的函數(shù)解析式；
（2）試探究在△ECD平移過程中，四邊形MNPQ的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及t的取值；若不存在，請說明理由；
（3）以MN為邊，在E′D′的下方作正方形MNRH，求正方形MNRH與坐標(biāo)軸有兩個公共點時t的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖①所示，將一個正三角形紙片沿著它的一條邊上的高剪開，得到如圖②所示的兩個全等的Rt△ABC、Rt△DEF．

（1）根據(jù)正三角形的性質(zhì)可知：在圖②中，∠ABC=∠DEF=30°，AB=DE=2AC=2DF．由此請你歸納一下在含30°角的直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊之間的關(guān)系：
在含30°角的直角三角形中，30°角所對的直角邊________；
（2）將這兩個直角三角形紙片按如圖③放置，使點B、D重合，點F在BC上．固定紙片DEF，將△ABC繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°），使四邊形ACDE為以ED為底的梯形（如圖④所示），求此時α的值；
（3）猜想圖④中AE與CD之間的大小關(guān)系，并說明理由．

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