Question

如圖，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC．
（1）求證：AC=BD；
（2）若sin∠C=，BC=12，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于tanB=cos∠DAC，所以根據正切和余弦的概念證明AC=BD；
（2）設AD=12k，AC=13k，然后利用題目已知條件即可解直角三角形．
解答：（1）證明：∵AD是BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tanB=，cos∠DAC=，
又∵tanB=cos∠DAC，
∴=，
∴AC=BD．

（2）解：在Rt△ADC中，，
故可設AD=12k，AC=13k，
∴CD==5k，
∵BC=BD+CD，又AC=BD，
∴BC=13k+5k=18k
由已知BC=12，
∴18k=12，
∴k=，
∴AD=12k=12×=8．
點評：此題考查解直角三角形、直角三角形的性質等知識，也考查邏輯推理能力和運算能力．