Question

如圖，弦AB⊥弦CD于E，若AE=2，BE=6，DE=3，則⊙O的半徑長=________．

Answer 1

分析：連接AD，CB，過O作OG垂直于CD，OF垂直于AB，由垂徑定理可得G、F分別為CD、AB的中點，同時根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得兩對圓周角相等，根據(jù)兩對應角相等的兩三角形相似，得到三角形ADE與三角形CBE相似，根據(jù)相似得比例，把已知AE，BE及DE的長代入求出CE的長，進而確定出AB及DC的長，由F為AB中點，求出AF的長，用AF-AE求出EF的長，再根據(jù)四邊形OGEF的三個角為直角得到此四邊形為矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得OG=EF，得出OG的長，由G為CD的中點，求出CG的長，在直角三角形OCG中，利用勾股定理求出OC的長，即為圓O的半徑．
解答：連接AD，CB，過O作OG⊥CD，OF⊥AB，如圖所示：

∵∠A=∠DCB，∠D=∠B，
∴△AED∽△CEB，
∴=，又AE=2，BE=6，DE=3，
∴CE==4，
又OF⊥AB，AB=AE+EB=2+6=8，
∴F為AB的中點，即AF=BF=AB=4，
∴EF=AF-AE=4-2=2，
又OG⊥CD，OF⊥AB，CD⊥AB，
∴∠OGE=∠GEF=∠OFE=90°，
∴四邊形OGEF為矩形，
∴OG=EF=2，又CD=CE+ED=4+3=7，
∴CG=CD=，
在直角三角形OCG中，OG=2，CG=，
根據(jù)勾股定理得：OC==，
則圓O的半徑為．
故答案為：
點評：此題考查了垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質，以及矩形的判定與性質，根據(jù)圖形作出相應的輔助線是解本題的關鍵．