Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點F，過點C作CE∥AB，與過點A的切線相交于點E，連接AD．

（1）求證：AD＝AE；

（2）若AB＝10，AC＝4，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AE的長為8．

【解析】

（1）利用平行線的性質(zhì)，圓的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，證明△AEC和△ADC全等即可證明AD＝AE，

（2）設(shè)AE＝AD＝x，CE＝CD＝y，利用勾股定理列出關(guān)于x和y的等式，即可求出AE的長．

（1）證明：∵AE與⊙O相切，AB是⊙O的直徑，

∴∠BAE＝90°，∠ADB＝90°，

∵CE∥AB，

∴∠E＝90°，

∴∠E＝∠ADB，

∵在△ABC中，AB＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA，

∵∠BAC+∠EAC＝90°，∠ACE+∠EAC＝90°，

∴∠BAC＝∠ACE，

∴∠BCA＝∠ACE，

又∵AC＝AC，

∴△ADC≌△AEC（AAS），

∴AD＝AE；

（2）解：設(shè)AE＝AD＝x，CE＝CD＝y，

則BD＝（10﹣y），

∵△AEC和△ADB為直角三角形，

∴AE2+CE2＝AC2，AD2+BD2＝AB2，

AB＝10，AC＝4，AE＝AD＝x，CE＝CD＝y，BD＝（10﹣y）代入，

解得：x＝8，

即AE的長為8．