Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，點E是BC的中點，連接AC、DE相交于點O．
（1）試說明：△AOD≌△COE；
（2）若∠B=∠AOE，試說明四邊形AECD是矩形的理由．

Answer 1

證明：（1）∵BC=2AD，點E是BC的中點，
∴EC=AD．
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CEO，∠DAO=∠ECO．
在△AOD和△COE中，
∴△AOD≌△COE（ASA）；

（2）∵AD=BE，AD∥BE，
∴四邊形ABED是平行四邊形；
同理可得：四邊形AECD是平行四邊形．
∴∠ADO=∠B．
∵∠B=∠AOE，
∴∠AOE=2∠B．
∴∠AOE=2∠ADO．
∵∠AOE=∠ADO+∠DAO，
∴∠OAD=∠ODA．
∴OA=OD．
∴AC=DE．
∴四邊形AECD是矩形．
分析：（1）首先證明EC=AD，再根據(jù)平行線的性質可得∠ADO=∠CEO，∠DAO=∠ECO．即可利用ASA定理證明△AOD≌△COE；
（2）首先證明四邊形ABED是平行四邊形，四邊形AECD是平行四邊形．可得∠ADO=∠B，進而得到∠AOE=2∠ADO，再根據(jù)三角形內角與外角的性質證明∠OAD=∠ODA．利用等角對等邊可得AO=DO，進而得到AC=DB，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形證出結論．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，以及矩形的判定，關鍵是掌握矩形的判定定理：
①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；
②有三個角是直角的四邊形是矩形；
③對角線相等的平行四邊形是矩形