Question

證明：只存在唯一一個(gè)三角形，它的三邊長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，并且它的三個(gè)內(nèi)角中有一個(gè)內(nèi)角為另一個(gè)內(nèi)角的2倍．

Answer 1

分析：首先保證該三角形的三個(gè)內(nèi)角中有一個(gè)內(nèi)角為另一個(gè)內(nèi)角的2倍，構(gòu)造相似三角形，得到a，b，c之間的一個(gè)關(guān)系式，再根據(jù)邊長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，進(jìn)行分析求解．

解答：證明：如圖，在△ABC中，設(shè)∠A=2∠B，且三邊長(zhǎng)分別為a，b，c．
延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D，使AD=AB=c，則CD=b+c，由∠A=2∠B，知∠ABC=∠D．
從而，△ABC∽△BDC，故

BC

DC

=

AC

BC

，即

a

b+c

=

b

a

于是，a²=b（b+c）①
當(dāng)a＞c＞b時(shí)，設(shè)a=n+1，c=n，b=n-1，代入①式，解得，n=5．
此時(shí)，a=6，b=5，c=4；
當(dāng)c＞a＞b時(shí)，設(shè)c=n+1，a=n，b=n-1，解得，n=2．
此時(shí)，a=2，b=1，c=3，不能構(gòu)成三角形；
同理，當(dāng)a＞b＞c時(shí)，可得，n²-3n-1=0，無(wú)解．
綜上所述，滿足條件的三角形只有一個(gè)，其三邊長(zhǎng)為4，5，6．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系．