Question

【題目】如圖1，已知直線l：y=﹣x+2與x軸交于點A、與y軸交于點B．拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過O、A兩點，與直線l交于點C，點C的橫坐標為﹣1．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；
（2）若點P是位于直線l下方拋物線上的一個動點，且不與點A、點C重合，連接PA、PC．設△PAC的面積為S，求當S取得最大值時點P的坐標，并求S的最大值；
（3）如圖2，設拋物線的頂點為D，連接AD、BD．點E是對稱軸m上一點，F(xiàn)是拋物線上一點，請直接寫出當△DEF與△ABD相似時點E的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當x=﹣1時，y=﹣x+2=3，則C（﹣1，3），

當y=0時，﹣x+2=0，解得x=2，則A（2，0），

∵拋物線過點O（0，0）、A（2，0），

設拋物線解析式為y=ax（ x﹣2 ），

將點C（﹣1，3）代入得3=﹣a（﹣1﹣2 ），解得a=1，

∴該拋物線解析式為y=x（ x﹣2 ），即y=x2﹣2x

（2）

解：設P（m，m2﹣2m），過點P作PQ∥y軸，交直線l于點Q，如圖1，則Q（m，﹣m+2），

∴PQ=（﹣m+2 ）﹣（m2﹣2m）=﹣m2+m+2，

∴S=S△PQC+S△PQA= （2+1）PQ=﹣ m2+ m+3=﹣ （m﹣ ）2+ ，

∴當m= 時，S有最大值，最大值為 ，

把m= 代入m2﹣2m得m2﹣2m=﹣ ，

∴P（ ，﹣ ）

（3）

解：設F點坐標為（t，t2﹣2t），

當x=1時，y=x2﹣2x=﹣1，則D（1，﹣1），當x=0時，y=﹣x+2=2，則B（0，2），

∵AB2=22+22=8，AD2=12+12=2，DB2=12+（2+1）2=10，

∴AB2+AD2=DB2，

∴△ABD為直角三角形，∠BAD=90°，

如圖2，

當△DEF∽△BAD，則∠DEF=∠BAD=90°， = ，即DE：2 =EF： ，

∴DE=2EF，

∵EF⊥DE，

∴E（1，t2﹣2t），

∴t2﹣2t+1=2（t﹣1），解得t1=1（舍去），t2=3，此時E點坐標為（1，3）；

當△DEF∽△DAB，則∠DEF=∠BAD=90°， = ，即DE： =EF：2 ，

∴DE= EF，

∵EF⊥DE，

∴E（1，t2﹣2t），

∴t2﹣2t+1= （t﹣1），解得t1=1（舍去），t2= ，此時E點坐標為（1，﹣ ）；

如圖3，

當△DFE∽△BAD，則∠DFE=∠BAD=90°，∠FDE=∠ADB，

過F點作FG⊥DE于G，則△DGF∽△BAD，同樣方法可得G（1，3），則F（3，3），

∵GF2=GEGD，即22=GE4，

∴GE=1，

∴此時E點坐標為（1，4）；

當△DFE∽△DAB，則∠DFE=∠BAD=90°，用同樣方法可得E點坐標為（1， ），

綜上所述，E點坐標為（1，3），（1，4），（1， ），（1，﹣ ）．

【解析】（1）先根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出C（﹣1，3），A（2，0），再設交點式y(tǒng)=ax（ x﹣2 ），然后把點C點坐標代入求出a即可得到該拋物線解析式為y=x2﹣2x；（2）設P（m，m2﹣2m），過點P作PQ∥y軸，交直線l于點Q，如圖1，則Q（m，﹣m+2），則PQ=﹣m2+m+2，根據(jù)三角形面積公式，利用S=S△PQC+S△PQA可得到S=﹣ m2+ m+3，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質解決最值問題（3）設F點坐標為（t，t2﹣2t），先確定D（1，﹣1），B（0，2），再利用勾股定理的逆定理證明△ABD為直角三角形，∠BAD=90°，然后分類討論：如圖2，當△DEF∽△BAD，則∠DEF=∠BAD=90°，利用相似比得DE=2EF，由于EF⊥DE，則E（1，t2﹣2t），所以t2﹣2t+1=2（t﹣1），解得t1=1（舍去），t2=3，易得此時E點坐標為（1，3）；當△DEF∽△DAB，則∠DEF=∠BAD=90°， = ，利用相似比得DE= EF，
由EF⊥DE得到E（1，t2﹣2t），則t2﹣2t+1= （t﹣1），解得t1=1（舍去），t2= ，易得此時E點坐標為（1，﹣ ）；如圖3，當△DFE∽△BAD，則∠DFE=∠BAD=90°，∠FDE=∠ADB，過F點作FG⊥DE于G，則△DGF∽△BAD，用前面方法可得G（1，3），則F（3，3），利用GF2=GEGD可計算出GE=1，則此時E點坐標為（1，4）；當△DFE∽△DAB，則∠DFE=∠BAD=90°，用同樣方法可得E點坐標為（1， ）．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用一次函數(shù)的性質和二次函數(shù)的圖象的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減��；二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．