如圖,正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形EFCG,EF交AD于點H.
(1)求證:AH=EH;
(2)若正方形ABCD的邊長為3,求DH的長.精英家教網(wǎng)
分析:(1)連CH,由正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形EFCG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CF=CD,∠DCG=30°,易證得Rt△CFH≌Rt△CDH,則HF=HD,即可得到結(jié)論;
(2)由(1)得Rt△CFH≌Rt△CDH,有∠FCH=∠DCH,而∠DCG=30°,得∠DCF=90°-30°=60°,所以∠DCH=30°,而CD=3,利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系即可求出DH的長.
解答:(1)證明:連CH,如圖,
∵正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形EFCG,精英家教網(wǎng)
∴CF=CD,∠DCG=30°,
而CH公共,
∴Rt△CFH≌Rt△CDH,
∴HF=HD,
∴AH=HE;

(2)解:由(1)得Rt△CFH≌Rt△CDH,
∴∠FCH=∠DCH,
而∠DCG=30°,
∴∠DCF=90°-30°=60°,
∴∠DCH=30°,
而正方形ABCD的邊長為3,即CD=3,
∵在直角三角形中,三邊之比為1:
3
:2.
∴DH=
3
3
DC=
3
點評:本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等,對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角,對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.也考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.
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