Question

（2012•昌平區(qū)二模）類比學(xué)習(xí)：
有這樣一個(gè)命題：設(shè)x、y、z都是小于1的正數(shù)，求證：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1．
小明同學(xué)是這樣證明的：如圖，作邊長為1的正三角形ABC，并分別在其邊上截取AD=x，BE=z，CF=y，設(shè)△ADF、△CEF和△BDE的面積分別為S₁、S₂、S₃，
則S1=

1

2

x(1-y)sin60°，
S2=

1

2

y(1-z)sin60°，
S3=

1

2

z(1-x)sin60°．
由 S₁+S₂+S₃＜S_△ABC，得 

1

2

x(1-y)sin60°+

1

2

y(1-z)sin60°+

1

2

z(1-x)sin60°＜

3

4

．
所以 x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1．
類比實(shí)踐：
已知正數(shù)a、b、c、d，x、y、z、t滿足a+x=b+y=c+z=d+t=k．
求證：ay+bz+ct+dx＜2k²．

Answer 1

分析：首先作出邊長為k的正方形ABCD，并分別在各邊上截�。篈E=a，DH=b，CG=c，BF=d，則BE=x，AH=y，DG=z，CF=t，利用圖形面積求出

1

2

ay+

1

2

dx+

1

2

ct+

1

2

bz＜k²，進(jìn)而得出答案即可．

解答：證明：如圖，作邊長為k的正方形ABCD．
并分別在各邊上截�。�
AE=a，DH=b，CG=c，BF=d，
∵a+x=b+y=c+z=d+t=k，
∴BE=x，AH=y，DG=z，CF=t．
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴S₁=

1

2

ay，S₂=

1

2

dx，S₃=

1

2

ct，S₄=

1

2

bz．
∵S₁+S₂+S₃+S₄＜S_{正方形ABCD}，
∴

1

2

ay+

1

2

dx+

1

2

ct+

1

2

bz＜k²．
∴ay+bz+ct+dx＜2k²．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)，根據(jù)已知構(gòu)造正方形進(jìn)而表示出各三角形面積是解題關(guān)鍵．