Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2﹣x+與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求該拋物線的對(duì)稱軸和線段AB的長(zhǎng)；

（2）如圖1，已知點(diǎn)D（0，﹣），點(diǎn)E是直線AC上訪拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，求△AED的面積的最大值；

（3）如圖2，點(diǎn)G是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H在第一象限，AC∥GH，AC=GH，△ACG與△A′CG關(guān)于直線CG對(duì)稱，是否存在點(diǎn)G，使得△A′CH是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB=4，拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1；（2）m=﹣時(shí)，S△AED有最大值，最大值為；（3）滿足條件點(diǎn)G坐標(biāo)為（﹣1，0）或（0，0）或（1，0）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題；
（2）如圖1中，設(shè)E（m，﹣m2﹣m+），根據(jù)S△AED=S△AOD+S△AEO+S△ECO-S△ECD根據(jù)二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；
（3）分三種情形①如圖2中，連接BC．當(dāng)點(diǎn)A′在y軸上時(shí)，∠HCA′=90°滿足條件．②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)O重合時(shí)，易證四邊形GCHA′是矩形，此時(shí)△CHA′是直角三角形；③如圖4中，當(dāng)點(diǎn)G與B重合時(shí)，四邊形GCHA′是矩形，此時(shí)△CHA′是直角三角形.

解：（1）對(duì)于y=﹣x2﹣x+令y=0，可得﹣x2﹣x+=0，

解得x=﹣3或1，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

∴AB=4，

拋物線的對(duì)稱軸x=﹣=﹣=﹣1．

（2）如圖1中，設(shè)E（m，﹣m2﹣m+），

∵S△AED=S△AOD+S△AEO+S△ECO﹣S△ECD

=×3×+×3×（﹣m2﹣m+）+××（﹣m）﹣×2×（﹣m）

=﹣（m+）2+，

∵﹣＜0，

∴m=﹣時(shí)，S△AED有最大值，最大值為．

（3）①如圖2中，連接BC．

∵AC∥GH，AC=GH，

∴四邊形ACHG是平行四邊形，

∴CH∥AB，

當(dāng)點(diǎn)A′在y軸上時(shí)，∠HCA′=90°滿足條件．

∵AO=3，OC=，OB=1，

∴tan∠CAO==，tan∠BCO==，

∴∠CAO=30°，∠OCB=30°，

∴∠ACO=60°，

∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=90°，

當(dāng)點(diǎn)A′在y軸上時(shí)，∠ACG=∠A′CG=30°，

∴OG=OCtan30°=1，

∴G（﹣1，0）．

②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)O重合時(shí)，易證四邊形GCHA′是矩形，此時(shí)△CHA′是直角三角形；

③如圖4中，當(dāng)點(diǎn)G與B重合時(shí)，四邊形GCHA′是矩形，此時(shí)△CHA′是直角三角形，G（1，0），

綜上所述，滿足條件點(diǎn)G坐標(biāo)為（﹣1，0）或（0，0）或（1，0）．