Question

9、如圖所示，矩形ABCD，過重心O任意作一直線分別交邊于E、F，證明直線EF把矩形分成面積相等的兩部分．直線EF把矩形的周長也分成相等的兩部分嗎？為什么？

Answer 1

分析：利用四邊形ABCD為矩形的性質(zhì)證△AOE≌△COF．進(jìn)而得到AE=CF，那么DE=BF．就可得到矩形的周長也分成相等的兩部分．

解答：證明：∵過重心O任意作一直線分別交邊于E、F，
∴AC、BC交于O則O為矩形對稱中心．
∴四邊形ABFE與四邊形EFCD關(guān)于點(diǎn)O對稱，
∴作直線EF使其經(jīng)過點(diǎn)O，直線EF即把矩形分成面積相等的兩部分．

證明：∵四邊形ABCD是矩形，O為重心．
∴AO=CO=BO=DO，∠AOE=∠COF，∠DAO=∠ACB=∠DBC．
∴△AOE≌△COF（AAS）．
∴AE=CF．
∴DE=BF．
∴AE+AB+BF=CF+CD+DE．
∴直線EF把矩形的周長也分成相等的兩部分．

點(diǎn)評：解答此題要熟悉矩形的性質(zhì)以及重心的知識，結(jié)合全等三角形的判定定理解答．