Question

設(shè)n為自然數(shù)，[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，解方程：x+2[x]+3[x]+4[x]+…+n[x]=

n2(n+1)2

2

．

Answer 1

分析：要解此方程，必須先去掉[]，根據(jù)[x]是整數(shù)，2[x]，3[x]，n[x]都是整數(shù)，所以x必是整數(shù)，即可求解．

解答：解：由于n是自然數(shù)，所以n與（n+1）
中必有一個(gè)偶數(shù)，因此

n2(n+1)2

2

是整數(shù)．因?yàn)閇x]是整數(shù)，2[x]，3[x]，n[x]都是整數(shù)，所以x必是整數(shù)．
根據(jù)分析，x必為整數(shù)，即x=[x]，所以原方程化為
x+2x+3x+4x+…+nx=+

n2(n+1)2

2

合并同類項(xiàng)得
（1+2+3+…+n）x=

n2(n+1)2

2

故有

n(n+1)

2

x=

n2(n+1)2

2

所以x=n（n+1）為原方程的解．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了取整函數(shù)的計(jì)算，去掉[]，轉(zhuǎn)化為一般的式子是解決本題的關(guān)鍵．