Question

某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動(dòng)，過程如下：

設(shè)∠BAC=（0°＜＜90°）.現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線AB，AC上.

活動(dòng)一：

  如圖甲所示，從點(diǎn)A₁開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點(diǎn)處互相垂直，A₁A₂為第1根小棒.

數(shù)學(xué)思考：

（1）小棒能無(wú)限擺下去嗎？答：          .(填“能”或“不能”)

（2）設(shè)AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1.

①=_________度；

②若記小棒A_2n-1A2n的長(zhǎng)度為a_n（n為正整數(shù)，如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，…） 求出此時(shí)a₂，a₃的值，并直接寫出a_n（用含n的式子表示）.

活動(dòng)二：

如圖乙所示，從點(diǎn)A₁開始，用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放，其中A₁A₂為第1根小棒，且A₁A₂₌AA₁.

數(shù)學(xué)思考：

（3）若已經(jīng)擺放了3根小棒，₁ =_________，₂=________， ₃=________；（用含的式子表示）

（4）若只能擺放4根小棒，求的范圍.

 

Answer 1

【答案】

（１）能（２）① 22.5°②a₃= ， （３），，

（４）

【解析】解: （１）能．                              ………………1分

      （２）① 22.5°.                           ………………2分

            ②方法一

∵A A₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，

              ∴A₁A₃=，AA₃=.

              又∵A₂A₃⊥A₃A₄ ，∴A₁A₂∥A₃A₄.

同理：A₃A₄∥A₅A₆，

∴∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅，

∴AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆

              ∴a₂=A₃A₄=AA₃=，             ………………3分

                a₃=AA₃+ A₃A₅=a₂+ A₃A₅.          

∵A₃A₅=a₂，

              ∴a₃=A₅A₆=AA₅=.  ………………4分

方法二

∵A A₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，

              ∴A₁A₃=，AA₃=.

              又∵A₂A₃⊥A₃A₄ ，∴A₁A₂∥A₃A₄.

同理：A₃A₄∥A₅A₆.

∴∠A₂A₃A₄=∠A₄A₅A₆=90°，∠A₂A₄A₃=∠A₄ A₆A₅，

              ∴△A₂A₃A₄∽△A₄A₅A₆，

              ∴，∴a₃=.    ………………4分

                                 ………………5分

（３）                           ………………6分

                                       ………………7分

                                   ………………8分

 

（４）由題意得:

       ∴.                  ………………10分

（1）本題需先根據(jù)已知條件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒兩端分別落在兩射線上，從而判斷出能繼續(xù)擺下去．

（2）①本題需先根據(jù)已知條件AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，得出A₂A₃和AA₃的值，判斷出A₁A₂∥A₃A₄、A₃A₄∥A₅A₆，即可求出∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A，②從而此時(shí)a₂，a₃的值和出a_n．

（３）利用三角形的外角求得（4）由題意得4<90°,590°,列不等式求得的范圍.