Question

（2010•奉賢區(qū)一模）如圖，P是⊙O的直徑AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PC與⊙O分別相交于點(diǎn)E和點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，連接PD．
（1）求證：PC=PD；
（2）如果PE的長(zhǎng)等于⊙O的半徑，∠APC=20°，求∠AOC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由垂徑定理，易得CF=DF，即PA垂直平分CD，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可證得PC=PD；
（2）連接OE，則△COE、△OEP都是等腰三角形，即可求得∠OEP的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可求得∠OCE、∠OEC的度數(shù)；而∠APC是△OCP的外角，則∠AOC=∠OCP+∠OPC，由此得解．
解答：（1）證明：∵AB是直徑，CD⊥AB（已知），
∴CF=DF（垂徑定理）．（3分）
∴PC=PD（等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)）．（2分）

（2）解：連接OE，（1分）
∵PE=OE=OC，∠APC=20°（已知），
∴∠EOP=∠APC=20°（等角對(duì)等邊），∠OCP=∠OEC=40°（三角形外角定理）．（2分）
∴∠AOC=∠OCP+∠APC=20°+40°=60°．（2分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了垂徑定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．