Question

【題目】如圖，已知一條直線過點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是.

⑴求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)的坐標(biāo) ；

⑵在軸上是否存在點(diǎn) ,使得△是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

⑶過線段上一點(diǎn),作∥軸，交拋物線于點(diǎn),點(diǎn)在第一象限；點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為何值時， 的長度最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）；（3）當(dāng)的橫坐標(biāo)為6時， 的長度最大值為18.

【解析】⑴關(guān)鍵是求直線的解析式，由于直線上有一點(diǎn)為，所以再找一個點(diǎn)即可求出直線的解析式； 的橫坐標(biāo)是代入拋物線的解析式即可求出它的縱坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求直線的函數(shù)關(guān)系式；由于點(diǎn)是兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)，所以把兩個函數(shù)聯(lián)立起來，利用方程思想可以解決問題.

⑵先假設(shè)存在，在假設(shè)存在的情況下還要分類討論，因?yàn)闆]有指明直角頂點(diǎn)，所以要分成三種情況來討論，利用勾股定理建立方程可以解決問題.

⑶利用的橫坐標(biāo)分別表示出線段的長度，再利用建立函數(shù)關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)關(guān)系來求最值.

解：⑴∵直線與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是

設(shè)此直線的解析式為，

將 代入得 ，

解得： ，

∴此直線的解析式為.

∵直線和拋物線交于兩點(diǎn),

∴

解得： 或

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為 .

⑵.如備用圖，點(diǎn)在軸上，連接 .

∵的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ,

∴ ,

若設(shè)存在的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則：

，

,

①.當(dāng)時， ,即 ,

解得： .

②.當(dāng)時， ,即

解得： 或.

③.當(dāng)時， ,即

解得： .

∴求出點(diǎn)的坐標(biāo)為 .

⑶.設(shè)點(diǎn) ，設(shè)與軸的交點(diǎn)為;

在△中,由勾股定理的： ,

又∵點(diǎn)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，∴ ,

∴，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,

∴ ,

∴,

∴當(dāng)時，又∵，取值最大值取到18.

∴當(dāng)的橫坐標(biāo)為6時， 的長度最大值為18.