Question

【題目】如圖①，在四邊形中，，，，，點從點開始沿邊向終點以每秒的速度移動，點從點開始沿邊向終點以每秒的速度移動，當其中一點到達終點時運動停止，設運動時間為秒.

（1）求證：當時，四邊形是平行四邊形；

（2）當為何值時，線段平分對角線？并求出此時四邊形的周長；

（3）當為何值時，點恰好在的垂直平分線上？

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)t=3, ;(3) .

【解析】

（1）根據(jù)，求出DQ,AP的長，再根據(jù)平行四邊形的判定定理即可求解；

（2）根據(jù)題意得到DE=BE,根據(jù)矩形的性質得到，根據(jù)全等三角形的性質得到，即可求出t的值，再根據(jù)勾股定理即可求解；

（3）分別過點、作，，根據(jù)矩形的性質可得，求出 的長，再根據(jù)垂直平分線的性質得到PD=PQ，故DE=PM，代入即可求出t的值.

（1）證明：∵，

∴當秒時，兩點停止運動，在運動過程中，，

∴，當時，，，

∴，

又∵，∴，

∴四邊形為平行四邊形.

（2）如圖①，設交于點，若平分對角線，則，

∵，

∴，，

在和中，，

∴，

∴，，

∴，解得，符合題意，

∴當秒時，平分對角線，

此時，，

∵，，

∴四邊形是平行四邊形，

過點作于點，

∵，，，

∴，，∴，

由勾股定理，得，

∴四邊形的周長.

（3）如圖②，分別過點、作，，分別交于點、，連接、，

可得四邊形是矩形，，，，

在和中，

∵，

∴，

∴，

∵點在的垂直平分線上，

∴，，四邊形是矩形，

∴，即，

解得，

則當為時，點恰好在的垂直平分線上.