如圖,已知P為∠AOB的邊OA上的一點(diǎn),以P為頂點(diǎn)的∠MPN的兩邊分別交射線OB于M、N兩點(diǎn),且∠MPN=∠AOB=α(α為銳角).當(dāng)∠MPN以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心,PM邊與PO重合的位置精英家教網(wǎng)開始,按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(∠MPN保持不變)時(shí),M、N兩點(diǎn)在射線OB上同時(shí)以不同的速度向右平行移動(dòng).設(shè)OM=x,ON=y(y>x>0),△POM的面積為S.若sinα=
3
2
,OP=2.
(1)當(dāng)∠MPN旋轉(zhuǎn)30°(即∠OPM=30°)時(shí),求點(diǎn)N移動(dòng)的距離;
(2)求證:△OPN∽△PMN;
(3)寫出y與x之間的關(guān)系式;
(4)試寫出S隨x變化的函數(shù)關(guān)系式,并確定S的取值范圍.
分析:(1)當(dāng)PM旋轉(zhuǎn)到PM′時(shí),點(diǎn)N移動(dòng)到點(diǎn)N′,點(diǎn)N移動(dòng)的距離NN′=ON′-ON;
(2)已知兩三角形兩角對(duì)應(yīng)相等,可利用AAA證相似
(3)可由(2)問的三角形相似得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(4)根據(jù)圖形得出S的關(guān)系式,然后在圖形內(nèi)根據(jù)x的取值范圍確定S的取值范圍.
解答:精英家教網(wǎng)(1)解:∵sinα=
3
2
且α為銳角,
∴α=60°,即∠BOA=∠MPN=60°.(1分)
∴初始狀態(tài)時(shí),△PON為等邊三角形,
∴ON=OP=2,當(dāng)PM旋轉(zhuǎn)到PM'時(shí),點(diǎn)N移動(dòng)到N',
∵∠OPM'=30°,∠BOA=∠M'PN'=60°,
∴∠M'N'P=30°.(2分)
在Rt△OPM'中,ON'=2PO=2×2=4,
∴NN'=ON'-ON=4-2=2,
∴點(diǎn)N移動(dòng)的距離為2;                          (3分)

(2)證明:在△OPN和△PMN中,
∠PON=∠MPN=60°,∠ONP=∠PNM,精英家教網(wǎng)
∴△OPN∽△PMN;                             (4分)

(3)解:∵M(jìn)N=ON-OM=y-x,
∴PN2=ON•MN=y(y-x)=y2-xy.
過P點(diǎn)作PD⊥OB,垂足為D.
在Rt△OPD中,
OD=OP•cos60°=2×
1
2
=1,PD=POsin60°=
3
,
∴DN=ON-OD=y-1.
在Rt△PND中,
PN2=PD2+DN2=(
3
2+(y-1)2=y2-2y+4.(5分)
∴y2-xy=y2-2y+4,
即y=
4
2-x
;                                  (6分)

(4)解:在△OPM中,OM邊上的高PD為
3
,
∴S=
1
2
•OM•PD=
1
2
•x•
3
=
3
2
x.(8分)
∵y>0,
∴2-x>0,即x<2.
又∵x>0,
∴x的取值范圍是0<x<2.
∵S是x的正比例函數(shù),且比例系數(shù)
3
2
>0

∴0<S<
3
2
×2,即0<S<
3
.                (9分)
點(diǎn)評(píng):此題是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的題目,主要考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形相似、旋轉(zhuǎn)的特征、解直角三角形、函數(shù)等知識(shí).難度很大,有利于培養(yǎng)同學(xué)們鉆研和探索問題的精神.
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