Question

如圖直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO，邊AO、CO在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，4），☉O半徑為2．
（1）連接AC，判斷AC的中點(diǎn)與☉O的位置關(guān)系；
（2）若將矩形ABCO沿著過A點(diǎn)的直線翻折，使得AB邊所在直線翻折后能與☉O相切，求折痕的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連接AC、BD交于點(diǎn)D，由矩形的性質(zhì)可求得OD=

1

2

AC=2.5，從而可判斷出點(diǎn)D于⊙O的關(guān)系；
（2）設(shè)翻折后的直線與圓相切于點(diǎn)E，分翻折后的直線AE在第二象限和在第一象限與圓相切兩種情況，再根據(jù)折痕為直線AB和AE兩直線的夾角的平分線求出折痕與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)y=kx+b，求出其解析式即可．

解答：解：（1）如圖1，連接AC、BD交于點(diǎn)D，由矩形的性質(zhì)可知D點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，

在Rt△AOC中可求得AC=5，
所以O(shè)D=

1

2

AC=2.5＞2，所以點(diǎn)D在⊙O外，
即AC的中點(diǎn)在⊙O外；

（2）設(shè)翻折后AB與⊙O相切于點(diǎn)E，
當(dāng)E點(diǎn)在第二象限時(shí)，如圖2，連接OE，設(shè)折痕所在的直線交x軸于點(diǎn)F，

由題意可知∠BAF=∠AEF，
而在Rt△OEA中，OE=2，OA=4，
∴∠EAO=30°，而∠OAB=90°，
∴∠FAB=60°，
∴∠OAF=30°，
在Rt△OAF中，OA=4，設(shè)OF=x，則AF=2x，由勾股定理可得：x²+4²=（2x）²，
解得x=

4 3

3

，此時(shí)F點(diǎn)坐標(biāo)為（

4 3

3

，0），
設(shè)直線AF的解析式為y=kx+4，把點(diǎn)F坐標(biāo)代入可解得k=-

3

，
∴折痕的函數(shù)關(guān)系式為：y=-

3

x+4，
當(dāng)E點(diǎn)在第一象限時(shí)，如圖3，連接OE，設(shè)折痕與x軸交于點(diǎn)F，

在Rt△OAE中，OE=2，OA=4，
∴∠OAE=30°，
∴∠EAB=60°，
∴∠EAF=30°，
∴∠OAF=60°，
在Rt△OAF中，OA=4，則OF=4

3

，即F點(diǎn)坐標(biāo)為（4

3

，0），
設(shè)折痕的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+4，把F點(diǎn)坐標(biāo)代入可解得k=-

3

3

，
∴折痕的函數(shù)關(guān)系式為：y=-

3

3

x+4，
綜上可知折痕的函數(shù)關(guān)系式為y=-

3

x+4或y=-

3

3

x+4．

點(diǎn)評：本題主要考查點(diǎn)和圓的位置關(guān)系、切線的性質(zhì)及解直角三角形、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等的綜合應(yīng)用，在第（2）問中利用翻折得到折痕即為AB和切線夾角的平分線從而確定出折痕的位置是解題的關(guān)鍵．