已知拋物線的頂點(diǎn)為(1,0),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1).
(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式;
(2)將該拋物線向下平移個(gè)單位,設(shè)得到的拋物線的頂點(diǎn)為A,與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為B、C,若△ABC為等邊三角形.
①求的值;
②設(shè)點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使四邊形CBDP為菱形?若存在,寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(1)由題意可得,解得
∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式為.………………………………3分
(2)①將向下平移個(gè)單位得:-=,可知A(1,-),B(1-,0),C(1+,0),BC=2.……………………………6分
由△ABC為等邊三角形,得,由>0,解得=3.…………7分
②不存在這樣的點(diǎn)P. ……………………………………………………………8分
∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于軸對(duì)稱,∴D(1,3).由①得BC=2.要使四邊形CBDP為菱形,需DP∥BC,DP=BC.
由題意,知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1+2,
當(dāng)=1+2時(shí)-m==,故不存在這樣的點(diǎn)P.……………………………………………………………………11分
【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】確定二次函數(shù)的表達(dá)式;二次函數(shù)的性質(zhì);關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì);菱形的判定
【解題思路】二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是中考的重點(diǎn)與難點(diǎn),因而應(yīng)高度重視,本題屬于綜合性較強(qiáng)的題目,應(yīng)理清思路,對(duì)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都應(yīng)熟練掌握并能靈活運(yùn)用,本題求出二次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵,應(yīng)熟練掌握三點(diǎn)式和頂點(diǎn)式求拋物線解析式的方法;二次函數(shù)的平移通常指的是圖象的平移,應(yīng)注意總結(jié)平移的規(guī)律.
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